在数学中,在复数向量空间V上的半双线性形式是映射V × V → C,它在一个参数上是线性的而在另一个参数上是反线性(半线性)的。比较于双线性形式,它在两个参数上都是线性的;要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候,把半双线性形式称为双线性形式。
一个主要例子是在复数向量空间上的内积,它不是双线性的而是半双线性的。
定义和習慣[编辑]
对哪个参数应当是线性的有不同的習慣。這裡采用第一个是半線性(共轭线性)而第二个参数是线性。基本上所有物理学家皆使用這習慣,這習慣起源于狄拉克在量子力学中使用的狄拉克符号。數學家則可能使用相反的習慣。
指定映射φ : V × V → C是半双线性的,如果
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\phi (x+y,z+w)=\phi (x,z)+\phi (x,w)+\phi (y,z)+\phi (y,w)\\&\phi (ax,by)={\bar {a}}b\,\phi (x,y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fc709cbf8e9212b09af214f3bb81c3a0789ab6)
对于所有x,y,z,w ∈ V和所有a, b ∈ C。
半双线性形式可以被看作双线性形式
![{\displaystyle {\bar {V}}\times V\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859fb953714a7fe046d2e52db2f9ecf7a0e42fd3)
这里的
是V的複共轭向量空间。通过张量积的泛性质,它一一对应于(复数)线性映射
![{\displaystyle {\bar {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ec52879638b8294e4dc4a8bfbb617ac508e29d)
对于V中固定的z,映射
是在V上的线性泛函(也就是对偶空间V* 的一个元素)。类似的,映射
是V上的共轭线性泛函。
给定V上任何半双线性形式φ,我们可以通过共轭转置定义第二个半双线性形式ψ:
![{\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\phi (z,w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424d2fa434ab76bcefe985519c8b41f4dd5b2d03)
一般而言,ψ和φ是不同的。如果它们相等,则φ被称为Hermitian形式。如果它们相互为负值,则φ被称为斜-Hermitian形式。所有半双线性形式可以写为一个Hermitian形式和一个斜-Hermitian形式的和。
几何动机[编辑]
双线性形式一般化了平方(
),而半双线性形式一般化了欧几里得范数(
)。
关联于半双线性形式的范数在乘以复数圆(单位范数的复数)的乘法下是不变的,而关联于双线性形式的范数是(关于平方)等变的。双线性形式在代数上更加自然,而半双线性在几何上更加自然。
如果B是在复数向量空间上的双线性形式而
是关联的范数,则
。
相反的,如果S是在复数向量空间上的半双线性形式而
是关联的范数,则
。
埃尔米特形式[编辑]
- 这个术语还称呼在埃尔米特流形上的特定微分形式。
埃尔米特形式(也叫做对称半双线性形式)是半双线性形式h : V × V → C,有着
![{\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f99194af12f94ebc91742e9c2fff749129f832)
在Cn上的标准埃尔米特形式为
![{\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068c328b1030876cc80b53dcbeac12344c565426)
更一般的说,在任何希尔伯特空间上的内积都是埃尔米特形式。
如果V是有限维的空间,则相对于V的任何基{ei},埃尔米特形式可表示为埃尔米特矩阵H:
![{\displaystyle h(w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Hz} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97c9aab07fd9870c335a6bdec623ad11f516339)
H的分量给出为Hij = h(ei, ej)。
关联于埃尔米特形式的二次形式
- Q(z) = h(z,z)
总是实数的。实际上可证明半双线性形式是埃尔米特形式,当且仅当关联的二次形式是实数的,对于所有z ∈ V。
斜-埃尔米特形式[编辑]
斜-埃尔米特形式(也叫做反对称半双线性形式)是半双线性形式ε : V × V → C,有着
![{\displaystyle \varepsilon (w,z)=-{\overline {\varepsilon (z,w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ab7d1aa7c03fc9c8f9d15b76e503f258230e07)
所有斜埃尔米特形式可以写为i乘以埃尔米特形式。
如果V是有限维空间,则相对于任何V的基{ei},斜埃尔米特形式可表示为斜埃尔米特矩阵A:
![{\displaystyle \varepsilon (w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Az} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1181ab691d7d116e331b08f69b72e9464ccf9620)
关联于斜埃尔米特形式的二次形式
- Q(z) = ε(z,z)
总是纯虚数。