決定公理:修订间差异

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2022年7月26日 (二) 22:18的版本

在數學上,決定公理Axiom of determinacy,常記做AD)是一個在1962年由​​揚·米切爾斯基英语Jan Mycielski​​雨果·斯坦豪斯英语Hugo Steinhaus所提出的可能的集合論公理,這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人​拓樸遊戲英语Topological game,而決定公理聲稱,任何這類的遊戲都是決定的英语determinacy,也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果,他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型​​L(R)英语​​L(R)中成立,這模型只接受較弱版本的選擇公理,但包括了所有的實數序數。決定公理的一些結果,可由早前由斯特凡·巴拿赫斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾英语Stanisław Mazur以及莫頓.戴維斯(Morton Davis)等人證明的定理得出;而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果,那就是在決定公理下,所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果,尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年,約翰.斯蒂爾英语John R. Steel​烏丁英语W. Hugh Woodin總結了一長串的研究,病症明說在類似不可數基數存在的狀況下,米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想,也就是「決定公理在集合論的最小自然模型​​L(R)英语​​L(R)中成立」這點是對的。

具決定性的遊戲

決定公理所談論的遊戲具有特定的定義,而其定義如次:

考慮所有自然數的無限序列組成的貝爾空間英语Baire space (set theory)的子集合,而其中兩個玩家1p2p輪流選取自然數

在經過無限步後,可得一序列,其中玩家1p獲勝當且僅當這序列是的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的,也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

不是所有的遊戲的決定性,都需要動用決定公理來證明。在是一個閉開集的情況下,那這遊戲基本是有限的,也因此是決定的;相似地,若是一個閉集,那這遊戲是決定的。在1975年,唐纳德·馬丁英语Donald A. Martin證明說若一個遊戲必勝策略是一個博雷爾集的話,那這遊戲是決定的;此外,在有足夠大的基數存在的狀況下,所有必勝策略是射影集英语projective set的遊戲都是決定的,而決定公理在​​L(R)英语​​L(R)中成立。

另外,決定公理蘊含說對於任何實數線的子空間而言,巴拿赫-馬祖爾遊戲英语Banach–Mazur game是決定的(也因此所有的實數集合都具有貝爾性質英语property of Baire)。

決定公理與選擇公理的不相容性

在假定選擇公理成立的狀況下,我們可以構造決定公理的一個反例。集合-遊戲中玩家一的所有策略,其大小與連續統相同;而類似地,是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設中所有可能序列的集合,並假定中使玩家一獲勝的子序列,那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個良序,且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序,而我們可利用這樣的良序集來給上指標,並藉此將給構造成決定公理的一個反例。

我們從空集合開始。設是集合的指標,我們考慮玩家一的所有策略及玩家二的所有策略以確保對於任何策略,都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略,我們都可生成一個序列,使得另一個玩家獲勝。設是時間軸,其長度為且這時間軸用於所有的遊戲序列中,我們可以利用上對超限遞歸來生成反例:

  1. 首先,考慮玩家一的策略
  2. 將這策略套用於-遊戲上,(連同玩家一的策略一起)可生成這序列,而這序列不屬於,這是可能的,而這可能性是因為這些選項的數量與連續統相同,而這數量比的真初始部分還要大所致。
  3. 現在(若這序列還不在之內的話)將這序列加入之中以表示失敗。(輸給
  4. 現在,考慮玩家二的策略
  5. 將這策略套用於-遊戲上,(連同玩家二的策略一起)可生成這序列,而這序列不屬於,這是可能的,而這可能性是因為這些選項的數量與連續統相同,而這數量比的真初始部分還要大所致。
  6. 現在(若這序列還不在之內的話)將這序列加入之中以表示失敗。(輸給
  7. 利用對超限歸納法,對的所有可能策略如是操作,對於所有在這之後不在中的策略,將之任意分派給,使得的補集。

當這一切完成後,準備-遊戲,而在這遊戲中,如果你給我玩家一的策略,那就存在一個使得,而我們可以建構出一個使得失敗(輸給),因此失敗;類似地,任何玩家的任何其他策略都會失敗,因此決定公理與選擇公理的不相容。

無窮邏輯與決定公理

在二十世紀晚期,人們提出多種不同的無窮邏輯英语Infinitary logic,其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可(在某種無窮邏輯當中)寫成以下形式:

OR

註:的所有-序列。此處的句子長度無限,且在省略號出現處,有可數無窮多的量化詞序列。

大基數與決定公理

決定公理的相容性,與大基數相關公理的相容性息息相關。根據​烏丁英语W. Hugh Woodin的一個定理,不帶有選擇公理而帶有決定公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性,等價於帶有選擇公理並帶有​烏丁基數英语Woodin cardinal策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性。由於​烏丁基數是強不可達基數之故,因此若決定公理是相容的,那不可達基數的無限性也是相容的。

此外,若將大於所有可測基數的可測基數的存在姓給加入烏丁基數的無限集合的猜想中,那就可得到一個非常強的、關於勒貝格可測的實數集合的理論,而這是因為可以證明決定公理在​​L(R)英语​​L(R)中成立,因此所有在​​L(R)英语​​L(R)中的實數集合都是決定的之故。

參見

參考資料

延伸閱讀