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Alpha-beta剪枝

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Alpha-beta剪枝是一种搜索算法,用以减少极小化极大算法(Minimax算法)搜索树的节点数。这是一种对抗性搜索算法,主要应用于机器游玩的二人游戏(如井字棋象棋围棋)。当算法评估出某策略的后续走法比之前策略的还差时,就会停止计算该策略的后续发展。该算法和极小化极大算法所得结论相同,但剪去了不影响最终决定的分枝[1]

历史[编辑]

Allen Newell和Herbert A. Simon在1958年,使用了John McCarthy所谓的“近似”alpha-beta算法[2],此算法当时“应已重新改造过多次”[3]。Arthur Samuel有一个早期版本,同时Richards、Hart、Levine和/或Edwards在美国分别独立发现了alpha-beta[4]。McCarthy在1956年达特默思会议上提出了相似理念,并在1961年建议给他的一群学生,其中包括MIT的Alan Kotok[5]。Alexander Brudno独立发现了alpha-beta算法,并在1963年发布成果[6]Donald Knuth和Ronald W. Moore在1975年优化了算法[7][8],Judea Pearl在1982年证明了其最优性[9]

对原版极小化极大算法的改进[编辑]

Alpha-beta的优点是减少搜索树的分枝,将搜索时间用在“更有希望”的子树上,继而提升搜索深度。该算法和极小化极大算法一样,都是分支限界类算法。若节点搜索顺序达到最佳优化或近似最佳优化(将最佳选择排在各节点首位),则同样时间内搜索深度可达极小化极大算法的两倍多。

在(平均或恒定)分枝因子为b,搜索深度为d层的情况下,要评估的最大(即招法排序最差时)叶节点数目为O(b*b*...*b) = O(bd)——即和简单极小化极大搜索一样。若招法排序最优(即始终优先搜索最佳招法),则需要评估的最大叶节点数目按层数奇偶性,分别约为O(b*1*b*1*...*b)和O(b*1*b*1*...*1)(或O(bd/2) = O(√bd))。其中层数为偶数时,搜索因子相当于减少了其平方根,等于能以同深度搜索两次[10]b*1*b*1*...意义为,对第一名玩家必须搜索全部招法找到最佳招式,但对于它们,只用将第二名玩家的最佳招法截断——alpha-beta确保无需考虑第二名玩家的其他招法。但因节点生成顺序随机,实际需要评估的节点平均约为O(b3d/4)[2]

一般在alpha-beta中,子树会由先手方优势或后手方优势暂时占据主导。若招式排序错误,这一优势会多次切换,每次让效率下降。随着层数深入,局面数量会呈指数性增长,因此排序早期招式价值很大。尽管改善任意深度的排序,都以能指数性减少总搜索局面,但排序临近根节点深度的全部局面相对经济。在实践中,招法排序常由早期、小型搜索决定,如通过迭代加深

算法使用两个值alpha和beta,分别代表大分玩家放心的最高分,以及小分玩家放心的最低分。alpha和beta的初始值分别为正负无穷大,即双玩家都以可能的最低分开始游戏。在选择某节点的特定分枝后,可能发生小分玩家放心的最小分小于大分玩家放心的最大分(beta <= alpha)。这种情况下,父节点不应选择这个节点,否则父节点分数会降低,因此该分枝的其他节点没有必要继续探索。

伪代码[编辑]

下面为一有限可靠性版本的Alpha-beta剪枝的伪代码[10]

01 function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer) // node = 节点,depth = 深度,maximizingPlayer = 大分玩家
02      if depth = 0 or node是终端节点
03          return 节点的启发值
04      if maximizingPlayer
05          v := -∞
06          for 每个子节点
07              v := max(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, FALSE)) // child = 子节点
08              α := max(α, v)
09              if β ≤ α
10                  break // β裁剪
11          return v
12      else
13          v := ∞
14          for each 每个子节点
15              v := min(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, TRUE))
16              β := min(β, v)
17              if β ≤ α
18                  break // α裁剪
19          return v
(* 初始调用 *)
alphabeta(origin, depth, -, +, TRUE) // origin = 初始节点

在这个有限可靠性的alpha-beta中,当v超出调用参数α和β构成的集合时(v < α或v > β),alphabeta函数返回值v。而与此相对,强化的有限可靠性alpha-beta限制函数返回在α与β包括范围中的值。

参考文献[编辑]

  • George T. Heineman, Gary Pollice, and Stanley Selkow. Chapter 7: Path Finding in AI. Algorithms in a Nutshell. Oreilly Media. 2008: 217–223. ISBN 978-0-596-51624-6. 
  • Judea Pearl, Heuristics, Addison-Wesley, 1984
  • John P. Fishburn. Appendix A: Some Optimizations of α-β Search. Analysis of Speedup in Distributed Algorithms (revision of 1981 PhD thesis). UMI Research Press. 1984: 107–111. ISBN 0-8357-1527-2. 
  1. ^ Russell, Stuart J.; Norvig, Peter. Artificial Intelligence: A Modern Approach 3rd. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, Inc. 2010: 167. ISBN 0-13-604259-7 
  2. ^ 2.0 2.1 McCarthy, John. Human Level AI Is Harder Than It Seemed in 1955. LaTeX2HTML 27 November 2006 [2006-12-20]. 
  3. ^ Newell, Allen and Herbert A. Simon. Computer Science as Empirical Inquiry: Symbols and Search (PDF). Communications of the ACM. March 1976, 19 (3) [2006-12-21]. doi:10.1145/360018.360022. 
  4. ^ Edwards, D.J. and Hart, T.P. The Alpha–beta Heuristic (AIM-030). Massachusetts Institute of Technology. 4 December 1961 to 28 October 1963 [2006-12-21]. 
  5. ^ Kotok, Alan. MIT Artificial Intelligence Memo 41. XHTML 3 December 2004 [2006-07-01]. 
  6. ^ Marsland, T.A.. Computer Chess Methods (PDF) from Encyclopedia of Artificial Intelligence. S. Shapiro (editor) (PDF). J. Wiley & Sons: 159–171. May 1987 [2006-12-21]. (原始内容 (PDF)存档于2008-10-30). 
  7. ^ * Knuth, D. E., and Moore, R. W. An Analysis of Alpha–Beta Pruning (PDF). Artificial Intelligence. 1975, 6 (4): 293–326. doi:10.1016/0004-3702(75)90019-3.  Reprinted as Chapter 9 in Knuth, Donald E. Selected Papers on Analysis of Algorithms. Stanford, California: Center for the Study of Language and Information - CSLI Lecture Notes, no. 102. 2000. ISBN 1-57586-212-3. OCLC 222512366. 
  8. ^ Abramson, Bruce. Control Strategies for Two-Player Games (PDF). ACM Computing Surveys. June 1989, 21 (2): 137 [2008-08-20]. doi:10.1145/66443.66444. (原始内容 (PDF)存档于2008-08-20). 
  9. ^ Pearl, Judea. The Solution for the Branching Factor of the Alpha–beta Pruning Algorithm and its Optimality. Communications of the ACM. August 1982, 25 (8): 559–564. doi:10.1145/358589.358616. 
  10. ^ 10.0 10.1 Russell, Stuart J.; Norvig, Peter, Artificial Intelligence: A Modern Approach 2nd, Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 2003, ISBN 0-13-790395-2 

外部链接[编辑]