在數學中,
函数(伽瑪函數;Gamma函数),是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果
為正整數,則:

根据解析延拓原理,伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上:

数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学中此函數很常用。
函數可以通过欧拉(Euler)第二类积分定義:

对复数
,我们要求
。
函數还可以通过对
做泰勒展开,解析延拓到整个复平面:
这样定义的
函數在全平面除了
以外的地方解析。
函數也可以用无穷乘积的方式表示:

这说明
是亚纯函数,而
是全纯函数。
历史動機[编辑]
Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解:
『找到一個光滑曲線連接那些由
所給定的點
,並要求
要為正整數』
由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的,但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線,並讓階乘的操作不會依賴於
值的大小。而最簡單的階乘公式
不能直接應用在應用在
值為分数的時候,因為它被限定在
值為正整數而已。相對而言,并不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達
,但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的,而 Γ函數就是那個公式。[1]
階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數:可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇,因為是解析的(除了正整數點),而且它可以被定義成很多種等價形式。然而,它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數,只要給予任何解析函數,其在正整數上為零,像是
,會給出其他函數有著階乘性質。
無窮乘積[编辑]
函數可以用無窮乘積表示:


其中
是欧拉-马歇罗尼常数。
Γ積分[编辑]

递推公式[编辑]
函数的递推公式为:
,
对于正整数
,有
,
可以说
函数是階乘的推廣。
递推公式的推导[编辑]
我们用分部积分法来计算这个积分:
当
时,
。当
趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:
.
因此第一项
变成了零,所以:
等式的右面正好是
, 因此,递推公式为:
.
重要性质[编辑]
- 當
時,
- 歐拉反射公式(余元公式):
.
- 由此可知当
时,
.
- 伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换:

。
.
.






[2]
此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。
對任何實數α

斯特靈公式[编辑]

(藍色)、

(橘色),數字越大

會越趨近

。但

會在負值則會因為出現虛數而無法使用。
斯特靈公式能用以估計
函数的增長速度。公式為:

其中e約等於2.718281828459。
特殊值[编辑]

连分数表示
伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和[3]:
Γ函數(藍色)、Γ函數的微分(橘色),其中,大於50與小於-20的部分被截掉。
對任何複數z,滿足 Re(z) > 0,有

於是,對任何正整數 m

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。
复数值[编辑]
![{\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ab32872895753584daf8bf525f5e2cf9378efe)
解析延拓[编辑]
注意到在
函數的積分定義中若取
為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

並注意到函數
在整個複平面上有解析延拓,我們可以在
時設

從而將
函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在
有單極點,留數為

程式實現[编辑]
許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数,例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)]
,即可求得任意實数的伽玛函数的值。
- 例如在EXCEL中:
EXP[GAMMALN(4/3)]
=0.89297951156925
而在沒有提供Γ函数的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[4],已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位:

參考文獻[编辑]
外部链接[编辑]