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Γ函数

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函数,也叫做伽瑪函數(Gamma函数),是階乘函數在實數與複數上的擴展。對於實數部份為正的複數,伽瑪函數定義為:

此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上,非正整數除外。

如果為正整數,則伽瑪函數定義為:

這顯示了它與階乘函數的聯繫。可見,伽瑪函數將拓展到了實數與複數域上。

概率論中常見此函數,在組合數學中也常見。

定義[编辑]

函數可以通过欧拉(Euler)第二类积分定義:

对复数,我们要求

函數还可以通过对做泰勒展开,解析延拓到整个复平面:

这样定义的函數在全平面除了以外的地方解析。

函數也可以用无穷乘积的方式表示:

这样定义的函數在全平面解析

無窮乘積[编辑]

函數可以用無窮乘積表示:

其中欧拉-马歇罗尼常数

積分[编辑]

递推公式[编辑]

函数的递推公式为:

对于正整数,有

可以说函数是階乘的推廣。

递推公式的推导[编辑]

我们用分部积分法来计算这个积分:

时,。当趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:

因此第一项变成了零,所以:

等式的右面正好是。因此,递推公式为:

重要性质[编辑]

Γ函數在實軸上的函數圖形
  • 時,
  • 歐拉反射公式
由此可知当时,
  • 乘法定理:
  • 此外

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

  • 極限性質

對任何實數α

特殊值[编辑]

导数[编辑]

對任何複數z,滿足 Re(z) > 0,有

於是,對任何正整數 m

其中 γ 是歐拉-馬歇羅尼常數

复数值[编辑]

斯特靈公式[编辑]

斯特靈公式能用以估計函数的增長速度。

解析延拓[编辑]

Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在函數的積分定義中若取為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

並注意到函數在整個複平面上有解析延拓,我們可以在時設

從而將函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在有單極點,留數為

参见[编辑]

如何利用EXCEL求伽玛函数的值[编辑]

  • 利用EXCEL中的GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意数的伽玛函数的值。
  • 举例:EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89298

外部链接[编辑]