Γ函数

$\Gamma \,$函数，也叫做伽瑪函數（Gamma函数），是階乘函數在實數與複數上的擴展。對於實數部份為正的複數$z$，伽瑪函數定義為:

$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t} \,{\rm{d}}t$

此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上，非正整數除外。

如果$n$為正整數，則伽瑪函數定義為:

$\Gamma(n) = (n-1)!$，

這顯示了它與階乘函數的聯繫。可見，伽瑪函數將$n$拓展到了實數與複數域上。

在概率論中常見此函數，在組合數學中也常見。

定義

$\Gamma \,$函數可以通过欧拉（Euler）第二类积分定義：

$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}\rm{d}t$

对复数$z\,$，我们要求$\mathrm{Re}(z) > 0$。

$\Gamma$函數还可以通过对$\mathrm{e}^{-t}\,$做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： $\Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}$

这样定义的$\Gamma$函數在全平面除了$z=0,-1,-2,\ldots$以外的地方解析。

$\Gamma$函數也可以用无穷乘积的方式表示：

$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{z}{n})^{-1}(1+\frac{1}{n})^{z}$

这样定义的$\Gamma$函數在全平面解析

無窮乘積

$\Gamma\,$函數可以用無窮乘積表示：

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}$

$\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}$

其中$\gamma\,$是欧拉-马歇罗尼常数。

$\Gamma$積分

$1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha \mathrm{e}^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x$

$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x} {\rm{d}}x$

递推公式

$\Gamma \,$函数的递推公式为： $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$，

对于正整数$n\,$，有

$\Gamma(n+1)=n!$，

可以说$\Gamma \,$函数是階乘的推廣。

递推公式的推导

$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x$

我们用分部积分法来计算这个积分：

$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x$

当$x=0 \,$时，$\frac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \frac{0}{1} = 0$。当$x \,$趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0$.

因此第一项$\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty$变成了零，所以：

$\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x$

等式的右面正好是$n \Gamma(n)\,$。因此，递推公式为：

${\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,$。

重要性质

Γ函數在實軸上的函數圖形

• 當$z\to 0^+$時，$\Gamma(z)\to+\infty$
• 歐拉反射公式：

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)$

由此可知当$\ z=\frac{1}{2}$时，$\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$。

• 乘法定理：

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)$。

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz)$。

• 補充：

$\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!\sqrt{\pi}}{n!4^n}$ 此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、$F \,$分布機率密度函數等的累計機率。

特殊值

$\begin{alignat}{3} \Gamma(-\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &&\approx 2.363271801207 \\ \Gamma(-1) & = (-2)! && = \infty \\ \Gamma(-\tfrac{1}{2}) & = -2\sqrt{\pi} &&\approx -3.544907701811 \\ \Gamma(0) & = (-1)! && = \infty \\ \Gamma(\tfrac{1}{2}) & = \sqrt{\pi} &&\approx 1.772453850905 \\ \Gamma(1) & = 0! && = 1 \\ \Gamma(\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &&\approx 0.88622692545 \\ \Gamma(2) & = 1! &&= 1 \\ \Gamma(\tfrac{5}{2}) & = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &&\approx 1.32934038818 \\ \Gamma(3) & = 2! &&= 2 \\ \Gamma(\tfrac{7}{2}) & = \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &&\approx 3.32335097045\\ \Gamma(4) & = 3! &&= 6 \end{alignat}$

导数

$\frac{\rm{d}}{\mathrm{d} z}\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}\ln t}{\mathrm{e}^t}\,{\rm{d}}t$

复数值

$\Gamma(x+{\rm{i}}y)=\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\cos (y\ln t){\rm{d}}t+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\left[\frac{k}{(k+x)^2+y^2}+\frac{x}{(k+x)^2+y^2}\right]+{\rm{i}}\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\sin (y\ln t){\rm{d}}t-y\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k![(k+x)^2+y^2]}\right\}\,$

斯特靈公式

斯特靈公式能用以估計$\Gamma$函数的增長速度。

解析延拓

Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在$\Gamma$函數的積分定義中若取$z \,$為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1)$

並注意到函數$\sin (\pi z) \,$在整個複平面上有解析延拓，我們可以在$\mathrm{Re}(z)<1$時設

$\Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}$

從而將$\Gamma \,$函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在$z=0,-1,-2,-3\cdots$有單極點，留數為

$\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}$

参见

• 双伽玛函数
• 多伽玛函数

如何利用EXCEL求伽玛函数的值

• 利用EXCEL中的GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意数的伽玛函数的值。
• 举例：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89298

外部链接

• GAMMA函數的性質
• LDA-math-神奇的Gamma函数