Γ函数

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微积分学
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相关数学家 牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 黎曼 拉格朗日 · 拉普拉斯 · 欧拉

$\Gamma \,$$\Gamma \,$函数，也叫做伽瑪函數（Gamma函数），是階乘函數在實數與複數上的擴展。對於實數部份為正的複數$z$$z$，伽瑪函數定義為：

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\,{\rm {d}}t$$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t} \,{\rm{d}}t$

此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上，非正整數除外。

如果$n$$n$為正整數，則伽瑪函數定義為：

$\Gamma (n)=(n-1)!$$\Gamma(n) = (n-1)!$，

這顯示了它與階乘函數的聯繫。可見，伽瑪函數將$n!$$n!$拓展到了實數與複數域上。

在概率論中常見此函數，在組合數學中也常見。

定義

$\Gamma \,$$\Gamma \,$函數可以通过欧拉（Euler）第二类积分定義：

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {{d}t}}$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}\rm{d}t$

对复数$z\,$$z\,$，我们要求$\mathrm {Re} (z)>0$$\mathrm{Re}(z) > 0$。

$\Gamma$$\Gamma$函數还可以通过对$\mathrm {e} ^{-t}\,$$\mathrm{e}^{-t}\,$做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： $\Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {d}}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}$$\Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}$

这样定义的$\Gamma$$\Gamma$函數在全平面除了$z=0,-1,-2,\ldots$$z=0,-1,-2,\ldots$以外的地方解析。

$\Gamma$$\Gamma$函數也可以用无穷乘积的方式表示：

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}$$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{{n=1}}^{{\infty }}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{{-1}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{{z}}$

这样定义的$\Gamma$$\Gamma$函數在全平面解析

無窮乘積

$\Gamma \,$$\Gamma\,$函數可以用無窮乘積表示：

$\Gamma (z)=\lim _{n\to {\infty }}n!\;n^{z}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}$$\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}$

$\Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{\frac {z}{n}}$$\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}$

其中$\gamma \,$$\gamma\,$是欧拉-马歇罗尼常数。

$\Gamma$$\Gamma$積分

$1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x$$1=\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac {x^{{\alpha -1}}\lambda ^{\alpha }{\mathrm {e}}^{{-\lambda x}}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{{\rm {{d}}}}x$

$\Rightarrow {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x$$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x} {\rm{d}}x$

递推公式

$\Gamma \,$$\Gamma \,$函数的递推公式为： $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$，

对于正整数$n\,$$n\,$，有

$\Gamma (n+1)=n!$$\Gamma(n+1)=n!$，

可以说$\Gamma \,$$\Gamma \,$函数是階乘的推廣。

递推公式的推导

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x$$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x$

我们用分部积分法来计算这个积分：

$\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x$$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x$

当$x=0\,$$x=0 \,$时，${\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0$${\tfrac {-0^{n}}{{\mathrm {e}}^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0$。当$x\,$$x \,$趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0$。

因此第一项$\left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$$\left[{\tfrac {-x^{n}}{{\mathrm {e}}^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$变成了零，所以：

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x$$\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x$

等式的右面正好是$n\Gamma (n)\,$$n \Gamma(n)\,$。因此，递推公式为：

${\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,$${\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,$。

重要性质

Γ函數在實軸上的函數圖形

• 當$z\to 0^{+}$$z\to 0^+$時，$\Gamma (z)\to +\infty$$\Gamma(z)\to+\infty$
• 歐拉反射公式：

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\tfrac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\tfrac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

由此可知当$\ z={\tfrac {1}{2}}$$\ z={\tfrac {1}{2}}$时，$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$。

• 乘法定理：

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)$$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)$。

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)$$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)$。

• 此外

$\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}$$\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}$

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

• 極限性質

對任何實數α

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R}$$\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha\in\mathbf{R}$

特殊值

${\begin{alignedat}{3}\Gamma (-{\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1)&=(-2)!&&=\infty \\\Gamma (-{\tfrac {1}{2}})&=-2{\sqrt {\pi }}&&\approx -3.544907701811\\\Gamma (0)&=(-1)!&&=\infty \\\Gamma ({\tfrac {1}{2}})&={\sqrt {\pi }}&&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&&=1\\\Gamma ({\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&&=1\\\Gamma ({\tfrac {5}{2}})&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&&=2\\\Gamma ({\tfrac {7}{2}})&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&&=6\end{alignedat}}$$\begin{alignat}{3} \Gamma(-\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &&\approx 2.363271801207 \\ \Gamma(-1) & = (-2)! && = \infty \\ \Gamma(-\tfrac{1}{2}) & = -2\sqrt{\pi} &&\approx -3.544907701811 \\ \Gamma(0) & = (-1)! && = \infty \\ \Gamma(\tfrac{1}{2}) & = \sqrt{\pi} &&\approx 1.772453850905 \\ \Gamma(1) & = 0! && = 1 \\ \Gamma(\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &&\approx 0.88622692545 \\ \Gamma(2) & = 1! &&= 1 \\ \Gamma(\tfrac{5}{2}) & = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &&\approx 1.32934038818 \\ \Gamma(3) & = 2! &&= 2 \\ \Gamma(\tfrac{7}{2}) & = \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &&\approx 3.32335097045\\ \Gamma(4) & = 3! &&= 6 \end{alignat}$

导数

對任何複數z，滿足 Re(z) > 0，有

${\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt$$\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt$

於是，對任何正整數 m

$\Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,$$\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,$

其中 γ 是歐拉-馬歇羅尼常數。

复数值

$\Gamma (x+{\rm {i}}y)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k}{(k+x)^{2}+y^{2}}}+{\frac {x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k![(k+x)^{2}+y^{2}]}}\right\}\,$$\Gamma(x+{\rm{i}}y)=\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\cos (y\ln t){\rm{d}}t+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\left[\frac{k}{(k+x)^2+y^2}+\frac{x}{(k+x)^2+y^2}\right]+{\rm{i}}\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\sin (y\ln t){\rm{d}}t-y\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k![(k+x)^2+y^2]}\right\}\,$

斯特靈公式

斯特靈公式能用以估計$\Gamma$$\Gamma$函数的增長速度。

解析延拓

Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在$\Gamma$$\Gamma$函數的積分定義中若取$z\,$$z \,$為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1)$

並注意到函數$\sin(\pi z)\,$$\sin (\pi z) \,$在整個複平面上有解析延拓，我們可以在$\mathrm {Re} (z)<1$$\mathrm{Re}(z)<1$時設

$\Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}$$\Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}$

從而將$\Gamma \,$$\Gamma \,$函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在$z=0,-1,-2,-3\cdots$$z=0,-1,-2,-3\cdots$有單極點，留數為

$\mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}$$\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}$

参见

• 双伽玛函数
• 多伽玛函数

如何利用EXCEL求伽玛函数的值

• 利用EXCEL中的GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意数的伽玛函数的值。
• 举例：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89298

外部链接

• GAMMA函數的性質
• 神奇的Gamma函数(上)
• 神奇的Gamma函数(下)