Θ函數

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數學中,Θ函數是一種多複變特殊函數。其應用包括阿貝爾簇模空間二次形式孤立子理論;其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論,尤其於超弦D-膜理論。

Jacobi theta 1
Jacobi theta 2
Jacobi theta 3
Jacobi theta 4

Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「z」 變量,Θ函數是拟周期函数(quasiperiodic function),具有「擬周期性」。在一般下降理論(descent theory)中,此來自線叢條件。

雅可比Θ函數[编辑]

雅可比Θ函數取二變量,其中為任何複數,而上半複平面上一點;此函數之定義為:

若固定 ,則此成為一週期為的單變量整函數傅里葉級數

在以 位移時,此函數符合:

其中 為整數。

輔助函數[编辑]

可定義輔助函數:

其中符號依黎曼芒福德之習慣;雅可比的原文用變量替換了,而稱本条目中的Θ為

若設,則我们可從以上獲得四支單以為變量之函數,其中取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」(theta constant);我们可以用Θ函數定義一系列模形式,或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得:

,

是為四次費馬曲線

雅可比恆等式[编辑]

雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用;模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設:

nome q表示Θ函數[编辑]

我们可用變量,代替,來表示ϑ。設。則ϑ可表示為:

而輔助Θ函數可表示為:

此表示式不需要指數函數,所以適用於指數函數無每一處定義域,如p進數域。

乘積表示式[编辑]

雅可比三重積恆等式(Jacobi's triple product identity)中指出:若有複數,其中,則

此式可以用基本方法證明,如戈弗雷·哈罗德·哈代爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》(英语:An Introduction to the Theory of Numbers)。

若用nome變量表示,則有:

由此得到Θ函數的積公式:

三重積等式左邊可以擴展成:

这个式子在z取實值時尤為重要。 各輔助Θ函數亦有類似之積公式:

積分表示式[编辑]

雅可比Θ函數可用積分表示,如下:

與黎曼ζ函數的關係[编辑]

黎曼嘗用關係式

以證黎曼ζ函數函數方程。他寫下等式:

而此積分於替換下不變。 非零時之積分,在赫尔维茨ζ函數一文有描述。

與维尔斯特拉斯椭圓函數之關係[编辑]

雅可比用Θ函數來構造椭圓函數,並使其有易於計算之形式。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造:

其中二次微分相對於z,而常數c使罗朗級數(於 z = 0)常項為零。

與模形式之關係[编辑]

設η為戴德金η函數。則

.

解熱方程[编辑]

雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x取實值,τ = itt取正值。則有

此解此下方程:

t = 0時,Θ函數成為「狄拉克梳状函数」(Dirac comb)

其中δ為狄拉克δ函数,故可知此解是唯一的。 因此,一般解可得自t = 0時的(週期)邊界條件與Θ函數的卷積。

與海森堡羣之關係[编辑]

雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。

推廣[编辑]

F為一n二次型,則有一關連的Θ函數

其中Zn為整數。此Θ函數是模羣(或某適當子羣)上的權n/2 模形式。在其富理埃級數

中,RF(k) 稱為此模形式之「表示數」(representation numbers)。

拉马努金Θ函數[编辑]

黎曼Θ函數[编辑]

為一集對稱方矩陣,其虚部為正定,一般稱Hn為“西格尔上半平面”(Siegel upper half-plane),它是上半複平面的高維推廣。模羣之n維推廣為辛羣Sp(2n,Z): 當n = 1 時, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群(congruence subgroup)的n維推廣為態射核

若設,則可定義黎曼Θ函數

其中為一n維複向量,上標T轉置。然則雅可比Θ函數為其特例(設n = 1、 ;其中為上半平面)。

的緊緻子集上,黎曼Θ函數絶對一致收歛。

函數方程為:

此方程成立於 ,

q-Θ函數[编辑]

参考文献[编辑]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
  • G. H. Hardy and E. M. Wright,An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
  • David Mumford,Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
  • James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
  • Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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