σ-代数

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數學中,某個集合X上的σ代数又叫σ域,是X的所有子集的集合(也就是幂集)的一个子集。这个子集满足对于差集运算和可數個并集运算的封闭性(因此对于有限个交集运算也是封闭的)。σ代数在測度論裡可以用来严格地定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。

σ代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的σ代数是关于实数轴测度的波莱尔σ代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望的时候,都需要用到。

定义[编辑]

非空集合 中的元素是 的子集合,满足以下条件的集合系称为上的一个σ代数[1][2]

中;
如果一个集合中,那么它的差集也在中;
如果有可數个集合都在中,那么它们的聯集也在中。

用数学语言来表示,就是

不借助逻辑符号的话,也可以使用如下更简洁的定义:[3]非空集合。则上的一个σ代数是指其冪集的子集合 對有限個差集交集跟可数個聯集這三種运算都依然屬於 ,也就是說 對這三運算是封閉(closed)的 。

在測度論裡 称为一个可测空间。 集合族 中的元素,也就是 的某子集,称为可测集合。而在概率论中,这些集合被称为随机事件

例子[编辑]

  • 有两个σ-代数的簡單例子,它们分别是:
    1. 上含集合最少的σ代数;和
    2. 上含集合最多的σ代数是冪集
  • 假设集合,那么 是集合上的一个σ代数。这也是所有包含的σ代数中最“小”的一个。

性质[编辑]

σ代数是一个代数)也是一个λ系,它对集合的交集聯集差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的,可测空间就是某个集合的σ-代数。

参考来源[编辑]

  1. ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ,第28页
  2. ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ,第45-46页
  3. ^ 可以在 Vladimir Bogachev. Measure Theory. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-34513-8. ,第4页见到