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σ-代数

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數學中,某個集合 X 上的 σ-代数又叫 σ-域,是 X 的冪集的子集合(X 的冪集即包含所有 X子集的集合系)。这个子集满足对于補集运算和可數個聯集运算的封闭性(因此对于可數個交集运算也是封闭的)。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望的时候,都需要用到。

定义[编辑]

非空集合,集合系 中的元素是 的子集合,满足以下条件的集合系 称为 上的一个 σ-代数[1][2]

  • 是集合系 中的元素;
  • 如果集合 中,那么它的補集 也在中;
  • 如果有可數个集合 都在 中,那么它们的聯集也在 中。

以上條件用数学语言来表示,就是:

為一集合,假設有集合系 ,其中 代表 的冪集,若 滿足下列條件

則稱集合系 的 σ-代數。

在測度論裡 称为一个可测空间。 集合族 中的元素,也就是 的某子集,称为可测集合。而在概率论中,这些集合被称为随机事件

例子[编辑]

  • 有两个σ-代数的簡單例子,它们分别是:
    1. 上含集合最少的σ-代数;和
    2. 上含集合最多的σ-代数是冪集
  • 假设集合,那么 是集合上的一个σ-代数。这也是所有包含的σ-代数中最“小”的一个。

性质[编辑]

σ-代数是一个代数)也是一个λ系,它对集合的交集聯集差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源[编辑]

  1. ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ,第28页
  2. ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ,第45-46页