σ-有限测度

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σ-有限测度测度论中的一个概念。给定一个σ-代数(\Omega, \mathcal{A}),以及其上的一个测度\mu,如果\mu(\Omega)是一个有限的实数(而不是无穷大),那么就称这个测度为有限测度。如果\Omega能够表示为\mathcal{A}之中的可数多个有限测度的子集并集

\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n, \qquad B_n \in \mathcal{A}, \quad \mu(B_n)<\infty,

那么就称这个测度为σ-有限测度[1]:24。如果\Omega的某个子集能够表示为\mathcal{A}之中的可数多个有限测度的子集的并集,那么也称这个子集拥有σ-有限的测度。

例子[编辑]

  • 勒贝格测度:实数集\mathbb{R}上的勒贝格测度不是有限测度,因为整个实数轴的“长度”,也就是全集\mathbb{R}的测度是无穷大。但是,勒贝格测度是σ-有限测度,因为\mathbb{R}可以表示为所有形如[-n,n]区间的并集,而每个区间的测度都是有限的(等于2n):
    \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} [-n,n]. [1]:24
  • 计数测度:实数集\mathbb{R}上的计数测度,是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度:含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大[2]:20-21。这个测度不是σ-有限测度,因为实数集是不可数的,它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集[2]:30。不过,自然数集\mathbb{N}上的计数测度就是σ-有限测度[2]:29,因为全集\mathbb{N}可以(很自然地)表示成可数个测度为1的子集的并集:
    \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{ n \}.
  • 局部紧群:设G是一个局部紧的拓扑群,并且是σ-紧致的,那么群G上的哈尔测度是σ-有限测度[3]:42

性质[编辑]

σ-有限测度中,全集可以表示为 \mathcal{A}中的可数个有限测度子集的并集:\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n ,但实际上表示的方法可以不止一种。比如说,令

\forall n \in \mathbb{N}, \; \; C_n = \bigcup_{k=1}^{n} B_k \in \mathcal{A},

那么\forall n \in \mathbb{N}, \; \; \mu(C_n) \leqslant \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k),也就是说\left(C_n\right)_{n\in\mathbb{N}}也是一系列有限测度的子集,并且C_1 \subset C_2 \subset \cdots \subset C_n \subset C_{n+1}  \subset \cdots ,所以\mu(C_1) \leqslant \mu(C_2) \leqslant \cdots \leqslant \mu(C_n) \leqslant \mu(C_{n+1}) \leqslant \cdots 。随着下标增大,C_n的测度越来越大,趋向正无穷大,并且\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n 。这称为全集的升序表示。而如果令:

C_0 = \varnothing, \; \; \forall n \in \mathbb{N}, \; \; D_n = C_{n}\setminus C_{n-1}\in \mathcal{A},

那么\left(D_n\right)_{n\in\mathbb{N}}也是一系列测度有限,并且两两不相交的集合(交集为空集),并且\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} D_n \left(D_n\right)_{n\in\mathbb{N}}被称为全集的一个划分,或者称为全集的不交覆盖。

半有限和一致σ-有限[编辑]

与σ-有限测度的概念相关的概念还有半有限测度一致σ-有限测度。一致σ-有限测度是一类特殊的σ-有限测度。它不仅要求全集\Omega能够表示为 \mathcal{A}中的可数个有限测度子集的并集:\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n ,而且要求存在一个正实数m,使得这些子集的测度(的绝对值)都小于等于m

\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n, \qquad B_n \in \mathcal{A}, \quad |\mu(B_n)|< m,

勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致σ-有限测度。但并非所有的σ-有限测度都是一致σ-有限测度。比如说自然数集上如下定义的σ-有限测度\mu_c

 \forall E \in \mathbb{N}, \; \;\mu_c(E) = \sum_{k\in E} k

就不是一致σ-有限测度[2]:30

半有限测度则是比σ-有限测度更宽泛的一种定义。如果(\Omega, \mathcal{A})上的一个测度中,任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集,那么就说这个测度是半有限测度。任何的σ-有限测度都是半有限测度,只要考虑它的升序表示,但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度,但它并不是σ-有限测度[2]:30

与概率测度的等价性[编辑]

给定(\Omega, \mathcal{A}),其上的任何σ-有限测度\mu等价于一个(\Omega, \mathcal{A})的概率测度。具体的构造方法是:令\left(B_n\right)_{n\in\mathbb{N}}为全集\Omega的一个不交覆盖(划分),并且每个B_n\mu下的测度都是有限的;再令\left(\omega_n\right)_{n\in\mathbb{N}}为一个由正实数构成的数列,并且级数

\sum_{n = 1}^\infty w_n = 1.

那么以下方式定义的测度\nu

\forall A \in \mathcal{A}, \; \; \nu(A) = \sum_{n = 1}^\infty w_n \frac { \mu (A \cap B_n) } {\mu (B_n)}

就是一个与\mu等价的概率测度,因为两者有着相同的零测集

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 (英文)Vladimir I. Bogachev. Measure Theory. Springer. 2007. ISBN 9783540345145. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 (英文)Carlos S. Kubrusly. Measure Theory: A First Course. Gulf Professional Publishing,插图版. 2007. ISBN 9780123708991. 
  3. ^ (英文)A. B. Kharazishvili. Topics in Measure Theory and Real Analysis. Springer. 2009. ISBN 9789491216367.