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一致收斂

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一致收斂或稱均匀收敛,(英語:Uniform convergence),是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成:若函數序列 fn 一致收斂至函數 f,代表對所有定義域中的點 xfn(x) 收斂至 f(x) 會有(大致)相同的收斂速度(所以才會用「均勻」或「一致」來形容這種模式的收歛)。由於它對收斂要求較逐點收斂更強,故能保持一些重要的分析性質,例如連續性、黎曼可積性。

定義[编辑]

當函數序列中的函數的對應域是 時,此時均勻收歛的定義為:

是定義在 上,對應域為 的一組函數序列,若序列 均勻收歛至函數 在集合 上,即表示對所有 ,存在 ,使得當所有 時有

可將這定義推廣到一般的度量空間:

為一集合度量空間。若對一組函數序列 ,存在函數 滿足 對所有 ,存在 ,使得當所有 時有

則稱序列 一致收斂到


注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中 的選取仅与 相关,而在逐点收敛中 还多了与點 相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。

例子[编辑]

在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一:對任何上的連續函數,考慮多項式序列

可證明區間上一致收斂到函數。其中的稱為伯恩斯坦多項式

透過坐标的平移與縮放,可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數,這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二:考慮區間上的函數序列,它逐點收斂到函數

然而這並非一致收斂。直觀地想像:當愈靠近,使接近所需的便愈大。可以依此想法循定義直接證明,也可以利用下節關於連續的性質證明,因為在此例中皆連續,而不連續。

性質[编辑]

為一組函數序列,對應域為 ,此時有下述性質:

  • 連續性:若函數序列 均勻收歛至函數 ,則有:
  1. 假設函數序列的定義域是闭包(closure)集合 ,且 的中的一點。若每個 都在 連續,則 也在 點連續。
  2. 若对集合 的每個緊緻子集 ,每個 都在 連續,則 上連續。
  • 積分的交換:令 為定義在緊緻區間 的函數序列,且序列 均勻收歛至函數 。若每個 都是黎曼可積,則 也是黎曼可積,而且
註:在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。
  • 與微分的交換:可微函數序列 均勻收歛至函數 ,並不能保證 是可微的,還需要對該函數序列的微分,,做些限制,請參看以下定理:
為定義在閉區間 的可微函數序列,且存在一點 使得極限 存在(且有限)。若序列的微分 在區間 一致收斂到函數 ,則序列 均勻收歛至函數 亦是可微函數,且有:

文獻[编辑]

  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X