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一致收斂

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數學中,一致收斂性(或稱均匀收敛)是函數序列的一種收斂定義,它較逐點收斂更強,並能保持一些重要的分析性質(如連續性)。

定義[编辑]

為一集合為一度量空間。若對一函數序列,存在滿足

對所有,存在,使得

則稱一致收斂到

最常用的是的情形,此時條件寫成

對所有,存在,使得

注意到,一致收敛和逐点收敛定义的区别在于,在一致收敛中仅与相关,而在逐点收敛中还与相关。所以一致收敛必定逐点收敛,而反之则不然。

例子[编辑]

在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一:對任何上的連續函數,考慮多項式序列

可證明區間上一致收斂到函數。其中的稱為伯恩斯坦多項式

透過坐标的平移與縮放,可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數,這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二:考慮區間上的函數序列,它逐點收斂到函數

然而這並非一致收斂。直觀地想像:當愈靠近,使接近所需的便愈大。可以依此想法循定義直接證明,也可以利用下節關於連續的性質證明,因為在此例中皆連續,而不連續。

性質[编辑]

假設一致收斂到,此時有下述性質:

  • 連續性:
  1. 是集合闭包中的一个元素,且每個都在連續,則也在a上連續。
  2. 若对集合I的每個紧子集,每個都在連續,則上連續。
  • 與積分的交換:令中的開集,。若每個都是黎曼可積,則也是黎曼可積,而且:在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。
  • 與微分的交換:令中的開集,。若每個皆可微,且一致收斂到函數,則亦可微,且

文獻[编辑]

  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X