一阶常微分方程

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一阶常微分方程数学中常见而基础的一类微分方程,通常写成如下的形式:

其中的x是要解的未知函数t是函数的自变量,f是一个已知的连续函数

一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到,是常见的数学模型的重要构成部分。

一阶线性微分方程[编辑]

一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式:

其中I是方程的求解范围,一般是实数集的子集。ab是已知的连续函数。如果b是零函数,则称此方程为齐次的,否则称其为非齐次的。

一阶齐次线性微分方程:

的解函数构成一个一维实线性空间

一阶非齐次线性微分方程

的解函数构成一个一维实仿射空间

其中

是原微分方程的一个特解。

变量分离方程[编辑]

如果一个一阶常微分方程能写成如下形式:

则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积,其中一个只与自变量t相关,另一个则只与未知函数x相关。

变量分离函数可以变形为:

的微分形式。将两端同时积分,可以得到:

这便是方程的通解。由于上述关系为隐函数关系,而不是的形式,称为隐式解

不少一阶常微分方程可以通过变量变换转化为变量分离方程,从而求解。

恰当微分方程[编辑]

将一个普通的一阶常微分方程转写为微分的形式:

tx视为变量平等看待,可以将其看作是对称的一阶微分方程:

如果上述方程中的左侧恰好是某个二元函数的全微分

那么隐函数:

就是原微分方程的解函数,其中的c可以是任意常数。具有这样性质的微分方程被称作恰当微分方程。要使得一个一阶常微分方程是恰当微分方程,其中的函数PQ必须一阶连续可微,并且满足以下的条件:

而当以上条件满足时,也可以具体求出解函数的形式:

积分因子[编辑]

如果方程

中的函数PQ不满足上述的关系式,则为了将其转化为恰当微分方程,会探讨能否通过添加适当的函数μ,使得:

这样的函数μ称为方程的积分因子。可以证明,只要原方程有解函数存在,则积分因子也必然存在,而且不一定是唯一的。

解的存在性[编辑]

很多情况下,需要讨论带有初值问题的一阶常微分方程,即:

是否有解。

E为一个完备的有限维赋范向量空间UE中的一个开集I中的一个区间。函数f是从U×I映射到E中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了,若函数fU中满足利普希茨条件,也就是说,

那么对于给定的初始条件:,微分方程存在一个解,其中是一个包含的区间,是一个从 映射到的连续函数,满足初始条件和原微分方程。同时,满足初值条件的最大解唯一存在。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松. 常微分方程. 高等教育出版社,第三版. 2006. ISBN 9787040193664.