七边形

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正七邊形
Regular polygon 7 annotated.svg
一個正七邊形
類型 正多邊形
7
頂點 7
對角線 14
施萊夫利符號 {7}
考克斯特圖 CDW ring.svgCDV 7.svgCDW dot.svg
對稱群 二面體群 (D7), order 2×7
面積 7
4
a2cotπ
7

3.6339124440016a2
內角 900
7.
o = 1284
7
o
128.57142857143°
內角和 900°
對偶 正七邊形 (本身)
特性 圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形isotoxal

七邊形几何学上是指一個有七條邊和七個角的多邊形

正七邊形是指一個由七條相同長度的邊和七個相同大小的角构成的正多邊形。在一個正七邊形裡,每一个角的大小都是\frac{5\pi}{7}\,rad,大約等於128.571\,。它的施莱夫利符号是{7}。對於一個邊長是a的正七邊形,它的面積如下:

S = \frac{7}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{7} \approx  3.63391 a^2

正七邊形不能夠單用沒有刻度的直尺和圓規來作图,不過若有一把有刻度的尺則可以。這種繪畫的方法稱之為纽西斯作图法。单用无刻度直尺和圆规不可能作出正七边形是因为,通过观察发现,2\cos\frac{2\pi}{7}\approx 1.247是不可约三次多项式f(x)=x^3+x^2- 2x-1\,一个零点。因此这个多项式是:2\cos\frac{2\pi}{7}最小多项式,同时这个最小多项式的多项式的次数(最高次幂)必须是2,属于可构造数

仅仅使用直尺和圆规,可以近似作出正七边形,误差大约为\approx 0.2%。设A为圆周上一点,作圆弧BOC。那么BD = {1 \over 2}BC大约就是圆内接正七边形的边长。

於2006年,英国正流通两种正七边形硬币,即大不列颠五十便士(50p)和大不列颠二十便士(20p)。二十欧分硬币侧表面上的凹形也使它与正七边形极为相似。严格地说,这些硬币的形状是一个曲线的七边形,它们被称作定长曲线:这些外表面呈曲线的边能够便于硬币在自动贩卖机里面更加流畅光滑地滚动。

七边形的英文名稱是heptagon,而有时也叫做septagon,"sept-"(septua-的母音音节省略,是一个从拉丁语引进的数学前缀)来表示「七、七的」,而不是hepta-(一个从希腊语引进的数学前缀,应用于大多数英语中数学、化学等学术类术语命名的前缀)。

二刻尺作图在一个正七边形里画一个内角。
正七边形的近似作图

七次单位根[编辑]

若中心在原点的正七边形的一个顶点落在点\left(1,0\right)\,上,则其余六个点的坐标分别为


{}_{\cos\frac{2\pi}{7}+ {\rm{i}}\sin\frac{2\pi}{7} =-\frac{1}{6}+\frac{\sqrt[3]{28+84\sqrt{3}{\rm{i}}}+\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}{\rm{i}}}}{12}+{\rm{i}}\left(\frac{\sqrt7}{6}+\frac{-1-\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{-52\sqrt7+12\sqrt{21}{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{-52\sqrt7-12\sqrt{21}{\rm{i}}}\right)}\,


{}_{\cos\frac{4\pi}{7}+{\rm{i}}\sin\frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{6}+\frac{-1-\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28+84\sqrt{3}{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}{\rm{i}}}+ {\rm{i}}\left(\frac{2\sqrt7+\sqrt[3]{-52\sqrt7+12\sqrt{21}{\rm{i}}}+\sqrt[3]{-52\sqrt7-12\sqrt{21}{\rm{i}}}}{12}\right)}\,


{}_{\cos\frac{6\pi}{7}+{\rm{i}}\sin\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{6}+\frac{-1+\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28+84\sqrt{3}{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}{\rm{i}}}+{\rm{i}}\left(-\frac{\sqrt7}{6}+\frac{\sqrt[3]{52\sqrt7+12\sqrt{21}{\rm{i}}}+\sqrt[3]{52\sqrt7-12\sqrt{21}{\rm{i}}}}{12}\right)}\,


{}_{\cos\frac{8\pi}{7}+{\rm{i}}\sin\frac{8\pi}{7}=-\frac{1}{6}+\frac{-1+\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28+84\sqrt{3}{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}{\rm{i}}}+ {\rm{i}} \left(\frac{\sqrt7}{6}+\frac{-1+\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{-52\sqrt7+12\sqrt{21}{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{-52\sqrt7-12\sqrt{21}{\rm{i}}}\right)}\,


{}_{\cos\frac{10\pi}{7}+{\rm{i}}\sin\frac{10\pi}{7}=-\frac{1}{6}+\frac{-1-\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28+84\sqrt{3}{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt{3}{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}{\rm{i}}}+ {\rm{i}} \left(-\frac{\sqrt7}{6}+\frac{-1+\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{52\sqrt7+12\sqrt{21}{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{52\sqrt7-12\sqrt{21}{\rm{i}}}\right)}\,


{}_{\cos\frac{12\pi}{7}+ {\rm{i}}\sin\frac{12\pi}{7} =-\frac{1}{6}+\frac{\sqrt[3]{28+84\sqrt{3}{\rm{i}}}+\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}{\rm{i}}}}{12}+ {\rm{i}} \left(-\frac{\sqrt7}{6}+\frac{-1-\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{52\sqrt7+12\sqrt{21}{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt3{\rm{i}}}{24}\sqrt[3]{52\sqrt7-12\sqrt{21}{\rm{i}}}\right)}\,

尺規作圖[编辑]

正七邊形不能僅用尺規作出。以下給出一個誤差為0.11°的近似作圖:

Approximated Heptagon Inscribed in a Circle.gif

參看[编辑]