七边形

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正七邊形
Regular polygon 7 annotated.svg
一個正七邊形
類型 正多邊形
7
頂點 7
對角線 14
施萊夫利符號 {7}
考克斯特圖 CDW ring.svgCDV 7.svgCDW dot.svg
對稱群 二面體群 (D7), order 2×7
面積 7
4
a2cotπ
7

3.6339124440016a2
內角 900
7.
o = 1284
7
o
128.57142857143°
內角和 900°
對偶 正七邊形 (本身)
特性 圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形isotoxal

幾何學中,七邊形是指有七條邊和七個頂點的多邊形[1],其內角和為900度[2]。七邊形有很多種,其中對稱性最高的是正七邊形。其他的七邊形依照其類角的性質可以分成凸七邊形和非凸七邊形,其中凸七邊形代表所有內角角度皆小於180度。非凸七邊形可以在近一步分成凹七邊形和星形七邊形,其中星形七邊形表示邊自我相交的七邊形。

正七邊形[编辑]

正七邊形是指所有邊等長、所有角等角的七邊形,由七條相同長度的邊和七個相同大小的角構成,是一種正多邊形,因此在施萊夫利符號中可以用{7}表示。正七邊形的內角是弧度,約為128.5714286,其中角度的小數為無窮小數,值為

面積[编辑]

正七邊形的面積(A)可以利用其邊長(a)來計算:

將正七邊形的頂點幾何中心相連可以將正七邊形分成七個扇三角形,這些三角形可再藉由邊心線將之一分為二。正七邊形的邊心距正切值的一半,而這十四個小三角形的面積就會是四分之一倍的邊心距。

其確切的代數式是三次方程x3 + x2 − 2x − 1,其中的一個根為[3],在複數中表示為:

其中,複數中的虛數部最後會互相抵銷使結果為實數。這個表達式不能被全部是實數的式子重寫,也不能透過化簡消去其虛數的部分。

構造[编辑]

正七邊形的邊數7是一個皮爾龐特質數英语Pierpont prime但不是費馬質數,因此不能用沒有刻度的直尺和圓規來作圖,但可以用一把有刻度的尺來作圖。這種作圖法稱為纽西斯作图法。单用无刻度直尺和圆规不可能作出正七边形是因为,通过观察发现,是不可约三次多项式一个零点。因此这个多项式是:最小多项式,同时这个最小多项式的多项式的次数(最高次幂)必须是2,属于可构造数。

雖然尺規作圖無法作出正七邊形,但仍可以近似作圖[4]

Neusis-heptagon.png
從內角完成正七邊形的二刻尺作圖。
01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif
外接圓半徑為的正七邊形二刻尺作圖動畫。此法根據安德魯·馬太·格里森英语Andrew M. Gleason[3]基於三等分角
Approximated Heptagon Inscribed in a Circle.gif
仅仅使用直尺和圆规,可以近似作出正七边形,误差大约为。设A为圆周上一点,作圆弧。那么大约就是圆内接正七边形的边长。
01-Siebeneck-Animation.gif 另外一種正七邊形的近似作圖

AMB = 51.42855809...° ; 360° ÷ 7 = 51.42857142...°
AMB - 360° ÷ 7 = -0.00001333...° (1 arcsec = 0.00027...°)
作圖誤差:
在外接圓半徑r = 10 km時,第一條邊的絕對誤差大約是-2.1 mm.

近似作圖[编辑]

正七边形的近似作图

下圖顯示了一個具有約0.2%誤差的正七邊形近似作圖。此法由阿尔布雷希特·丢勒提出[5]

7-gone approx.png

特定邊長的近似作圖[编辑]

若將一個七邊形的邊長以單位長繪製在圓半徑為外接圓上時,其絕對誤差可以降低到0.00013%。

這種近似值來自於。這種正七邊形畫法誤差十分小,即使繪製外接圓半徑1公里大的正七邊形誤差也僅有1.1毫米

01-Heptagon-en-Animation.gif

命名[编辑]

七边形的英文名稱是heptagon,而有时也叫做septagon,"sept-"(septua-的母音音节省略,是一个从拉丁语引进的数学前缀)来表示「七、七的」,而不是hepta-(一个从希腊语引进的数学前缀,应用于大多数英语中数学、化学等学术类术语命名的前缀)。

使用[编辑]

畫上對角線分成三角形的七邊形泥板。在西元前2000前被用在學校教導幾何圖形概念[6]

於2006年,英国正流通两种正七边形硬币,即大不列颠五十便士(50p)和大不列颠二十便士(20p)。二十欧分硬币侧表面上的凹形也使它与正七边形极为相似。严格地说,这些硬币的形状是一个曲线的七边形,它们被称作定长曲线:这些外表面呈曲线的边能够便于硬币在自动贩卖机里面更加流畅光滑地滚动。

在雙曲面上,正七邊形可構成正七邊形鑲嵌。下圖是正七邊形鑲嵌的龐加萊投影

Uniform tiling 73-t0.png
正七邊形鑲嵌

扭歪七邊形[编辑]

一個正扭歪七邊形,位於六維正七胞體中

扭歪七邊形,又稱不共面七邊形,是指頂點並非完全共面的七邊形。除了三維空間的扭歪七邊形之外,扭歪七邊形亦可以在一些高維度的多胞體中找到,通常會以皮特里多邊形的方式存在。例如六維正七胞體的皮特里多邊形就是一個扭歪七邊形,其具有A10 [3,3,3,3,3] 的考克斯特群的對稱性[7][8]

[编辑]

K7完全圖經常會被以正七邊形的圖形繪製來描述其21條連接邊。這個圖與六維正七胞體的正投影圖英语orthographic projection同為7個頂點和21條邊。

6-simplex t0.svg
六維正七胞體

另外K7完全圖也顯示了十一邊形的14條對角線。

自然界中的七邊形[编辑]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ MathWorldHeptagon的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  2. ^ Polygons – Heptagons. coolmath.com. 
  3. ^ 3.0 3.1 Gleason, Andrew Mattei. Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 186 (Fig.1) –187 (PDF). The American Mathematical Monthly. March 1988, 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. (原始内容 (PDF)存档于2016-01-31). 
  4. ^ Heptagon Construction. toon.macharis.be. 
  5. ^ G.H. Hughes, "The Polygons of Albrecht Dürer-1525, The Regular Heptagon", Fig. 11 the side of the Heptagon (7) Fig. 15, image on the left side, retrieved on 4th December 2015
  6. ^ Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
  7. ^ Davis, Michael W., The Geometry and Topology of Coxeter Groups (PDF), 2007, ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020 
  8. ^ Richard Klitzing, 6D uniform polytopes (polypeta), x3o3o3o3o - hix