三值逻辑

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邏輯學中的三值邏輯(three-valued,也稱為三元(ternary),或三价(trivalent)邏輯,有時縮寫為3VL)是幾個多值逻辑系統中的其中之一。有三種狀態來表示真、假和一個表示不確定的第三值;这相对於基礎的二元邏輯(比如布尔逻辑,它只提供真假兩種狀態)。概念形式和基本思想最初由 JanŁukasiewicz和 C. I. Lewis創建。 然後這些由 Grigore Moisil以公理代數形式重新制定,並在 1945年擴展到 值邏輯。


值的表示符號[编辑]

同二值逻辑一样,在三值逻辑中的真值可以使用各种三进制系统表示来数值表示。一些常见的例子有:

  • 1用于真,2用于假,0用于“未知”、“无关”或“二者”。[1]
  • 0用于假,1用于真,第三值使用非整数符号比如# 或½。[2]
  • 平衡三进制:= -1用于假,1用于真,0用于第三值;这些值还可以分别简化为 -、+和0。[3]

本文主要闡述了一個基于 {false,unknown,true} 狀態的克莱尼三值命题逻辑系统,並將一般的布爾連接詞擴展到三值上下文語境中。三值邏輯也有謂詞;這些可能具有與經典(二元)謂詞邏輯不同的量詞讀數,也可能包含替代量詞。


真值表[编辑]

如果布爾邏輯具有 22 = 4 個單元運算符,則在三值邏輯中添加第三個狀態值,則導致在單個輸入值上共有 33 = 27 個不同的運算符。類似地,在布爾邏輯具有 222 = 16個不同的二元運算符(具有2個輸入的運算符)的情況下,三值邏輯具有 333 = 19,683 個這樣的運算符。當布爾運算符已有很多固有的名稱(例如否定、並且、或者,排除,等價、蘊含)的情況下,對三值邏輯中的運算符嘗試給予名稱,是不甚合理的。

下面是给有true(T)/false(F)/unknown(?)状态的系统的一些逻辑运算的真值表

A B AB AB ¬ A
T T T T F
T ? T ? F
T F T F F
? T T ? ?
? ? ? ? ?
? F ? F ?
F T T F T
F ? ? F T
F F F F T

在这个真值表中,UNKNOWN状态可以被比拟认为是一个密封的盒子,其中包含要么一个明确的TRUE值要么一个明确的FALSE值。不能随时及时获得任何特定UNKNOWN状态秘密的表示TRUE还是FALSE的知识。但是,特定逻辑运算可以生成一个明确的结果,即使它们涉及到了至少一个UNKNOWN操作数(参看捷徑求值)。例如,因为TRUE ∨ TRUE等于TRUE,而TRUE ∨ FALSE等于TRUE,你同样可以推出TRUE ∨ UNKNOWN等于TRUE。在这个例子中,因为两个二价状态都可以被UNKNOWN状态暗含,但两个状态都生成相同的结果,在所有这三种情况下都是一个明确的TRUE结果。


在数据库应用中的三值逻辑[编辑]

数据查询语言 SQL 实用了三值逻辑,作为处理字段内容值為 NULL的一种方式。最初使用 NULL值的意圖来表示在数据库中缺失数据,即假設現實中有值存在,但該值當前並未記錄在數據庫中;注意缺失的值不同于数值零,或长度為零的空字串值,这两者都表示已知的值。SQL 使用 Kleene K3 邏輯的通用片段,僅限於 AND,OR 和 NOT表。在 SQL中 NULL 值應被解釋為未知(UNKNOWN)。若以 NULL 與欄位值做關係比較,包括和另一個 NULL的比較,結果都是狀態為未知的。然而,這種語義選擇在某些集合操作中被放棄了,例如,UNION 或 INTERSECT,其中 NULL 被視為彼此相等。批評者斷言,這種不一致的性質剝奪了 SQL在處理 NULL 時直觀的語義。例如,考虑下列 SQL表达式:

City = 'Paris'

SQL 中在 City 字段中的 NULL 值表示理论中导致这个表达式,被确认为要么 TRUE(比如 City 包含 'Paris'),要么FALSE(比如 City 包含 'Philadelphia')的一缺失值。样例 SQL 表达式依据如下规则确认:

  • 对于在 City 字段中有字串 'Paris'的任何记录,结果为 TRUE
  • 对于在 City 字段中有 NULL的任何记录,结果为 UNKNOWN
  • 在所有其他情况,结果为 FALSE

在SQL 数据操纵语言中,表达式(比如在WHERE子句中)的TRUE真值状态发起在这个行上一个动作(比如返回这一行),而UNKNOWN或FALSE的真值状态不做事情。[4]三值逻辑以这种方式来实现在SQL中,而对于SQL用户表现得如同二值逻辑。

但是,SQL的检查约束有不同的表现。只有FALSE真值状态导致违反检查约束。TRUE或UNKNOWN真值状态指示一行已经成功的通过检查约束验证。[5]

在文章 Null中深入讨论了三值逻辑的 SQL实现。

参见[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ Hayes, Brian. Third Base (PDF). American Scientist (Sigma Xi, the Scientific Research Society). November–December 2001, 89 (6): 490–494 [2006-12-25]. 
  2. ^ The Penguin Dictionary of Mathematics. 2nd Edition. London, England: Penguin Books. 1998: 417. 
  3. ^ Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming Vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. 1981: 190. 
  4. ^ Lex de Haan and Gennick, Jonathan. Nulls: Nothing to Worry About. Oracle Magazine (Oracle). July–August 2005. (原始内容存档于2006-11-02). 
  5. ^ Coles, Michael. Null Versus Null?. SQL Server Central (Red Gate Software). February 26, 2007. 

外部链接[编辑]

  • Trinary Computer Systems
  • TriINTERCAL - the intentionally-obfuscated INTERCAL programming language supports an implementation of ternary logic
  • Boost.Tribool – an implementation of ternary logic in C++
  • Team-R2D2 - a French institute that fabricated the first full-ternary logic chip (a 64-tert SRAM and 4-tert adder) in 2004