三格骨牌

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三格骨牌(Tromino),又稱三連塊,是一種多格骨牌,每塊以三個全等的正方形連成[1],若一骨牌翻面或是旋轉後,仍視為同一種骨牌的話,共有兩種三格骨牌,可以由英文字母I和L代表(L有時也會表示為V)。

若一骨牌翻面後的形狀和原來不同時,可以不視為同一種骨牌,但由於二種三格骨牌都是軸對稱,骨牌翻面之後圖案都和原來相同,因此仍然只有二種三格骨牌。若一骨牌翻面或是旋轉後形狀和原來不同,可以不視為同一種骨牌,I形骨牌可以旋轉90度,而L形骨牌可以旋轉90度、180度及270度,再加上原來的二種,這樣就會有六種三格骨牌[2][3]

三格骨牌定理[编辑]

三格L形骨牌自分割問題

若在2n×2n的棋盤抽走其中一個單位正方形,剩下的圖形可被一定數量的L形三格骨牌互不重疊地覆蓋。

這個定理由多格骨牌的發明人——一名22歲的哈佛學生Solomon Golomb提出[4]

證明[编辑]

使用數學歸納法

當n=1:從2×2的棋盤抽走一個單位正方形,必定是一個L形三格骨牌,它自然可被L形三格骨牌覆蓋。

假設在2n×2n的棋盤抽走其中一個單位正方形,剩下的圖形可被完全覆蓋:

  1. 將2n+1×2n+1棋盤分成四個2n×2n的部分。
  2. 將不包含沒有抽走單位正方形的三個部分,各在接近2n+1×2n+1棋盤中心的角上抽走一個單位正方形。
  3. 這三個單位正方角就組成一個L形三格骨牌。
  4. 根據假設,剩下的四個被抽走一個單位正方形的2n×2n的部分,都可被完全覆蓋。

當2n×2n可被完全覆蓋時,2n+1×2n+1也可。

三格L形骨牌自分割問題[编辑]

三格L形骨牌有一個特點,L形骨牌可以分割為四個長度只有原來一半的L形骨牌,若將骨牌再往下分割,可以分割為4n片大小更小的骨牌。

若針對任何的數字n,也可以將三格L形骨牌分割為n2片較小的三格L形骨牌。

參考資料[编辑]

  1. ^ Golomb, Solomon W. Polyominoes 2nd. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 1994. ISBN 0-691-02444-8. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. Triomino. From MathWorld – A Wolfram Web Resource. [2009-12-05]. 
  3. ^ Redelmeier, D. Hugh. Counting polyominoes: yet another attack. Discrete Mathematics. 1981, 36: 191–203. doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5. 
  4. ^ Golomb's inductive proof of a tromino theorem at cut-the-knot

外部連結[编辑]