三角函數精確值

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三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡,並以數學根式分數表示

根式分數表達的精確三角函數有時很有用,主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡。

根据尼云定理,有理数度数的角的正弦值,其中的有理数仅有0,±1/2,±1。

注意:以下為相同角度的轉換表:

相同角度的轉換表
角度單位
角度 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
弧度
梯度

計算方式[编辑]

基於常識[编辑]

例如:0°、30°、45°

單位圓

經由半角公式的計算[编辑]

例如:15°、22.5°

利用三倍角公式[编辑]

例如:10°、20°、7°......等等,非三的倍數的角的精確值。

把它改為

當成未知數,當成常數項 解一元三次方程式即可求出

例如:

同樣地,若角度代未知數,則會得到三分之一角公式

经由欧拉公式的计算[编辑]

例如:

[1]

經由合角公式的計算[编辑]

例如:21° = 9° + 12°

經由托勒密定理的計算[编辑]

Chord(36°) = a/b = 1/f, from 托勒密定理

例如:18°

三角函數精確值列表[编辑]

由於三角函數的特性,大於45°角度的三角函數值,可以經由自0°~45°的角度的三角函數值的相關的計算取得。

0°:根本[编辑]

1°:2°的一半[编辑]

[2]

2°:6°的三分之一[编辑]

3°:正六十邊形[编辑]

4°:12°的三分之一[编辑]

5°:15°的三分之一、正三十六邊形[编辑]

6°:正三十邊形[编辑]

7.5°:正二十四邊形[编辑]

9°:正二十邊形[编辑]

10°:正十八邊形[编辑]

12°:正十五邊形[编辑]

15°:正十二邊形[编辑]

18°:正十邊形[编辑]

20°:正九邊形、60°的三分之一[编辑]

21°:9°与12°的和[编辑]

360/17°,正十七邊形[编辑]

22.5°:正八邊形[编辑]

24°:12°的二倍[编辑]

180/7°,正七邊形[编辑]

27°:12°与15°的和[编辑]

30°:正六邊形[编辑]

33°:15°与18°的和[编辑]

36°:正五邊形[编辑]

39°:18°与21°的和[编辑]

42°:21°的2倍[编辑]

45°:正方形[编辑]

相關[编辑]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Wolfram Alpha验算:[1]
  2. ^ 使用Mathematica驗算,代碼為N[ArcSin[(1 + Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] + (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1] + (1 - Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] - (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1]], 100]/Degree結果為1與原角度無誤差