三角换元法

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三角换元法是一种计算积分的方法,是换元积分法的一个特例。

含有a2x2的积分[编辑]

在积分

中,我们可以用以下的代换:

这样,积分变为:

注意以上的步骤需要a > 0和cos(θ) > 0;我们可以选择aa2的算术平方根,然后用反正弦函数把θ限制为−π/2 < θ < π/2。

对于定积分的计算,我们必须知道积分限是怎样变化。例如,当x从0增加到a/2时,sin(θ)从0增加到1/2,所以θ从0增加到π/6。因此,我们有:

含有a2 + x2的积分[编辑]

在积分

中,我们可以用以下的代换:

这样,积分变为:

a > 0)。

含有x2a2的积分[编辑]

以下的积分

可以用部分分式的方法来计算,但是,

则必须要用换元法:

含有三角函数的积分[编辑]

对于含有三角函数的积分,可以用以下的代换:

参见[编辑]