算术几何

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在数学中,算术几何(arithmetic geometry)大致是从代数几何数论问题的技术的应用[1]。算术几何围绕着丟番圖几何英语Diophantine geometry,这是代数簇有理点英语Rational point的研究[2][3]

用更抽象的术语来说,算术几何可以定义为对整数环内的有限概形(scheme)方案的研究[4]

概述[编辑]

算术几何中感兴趣的经典对象是有理点:多项式方程组在代数数域有限域P進數、或函数域上的解集,例如,不包括实数代數閉域。 有理点可以直接用衡量其算术复杂性的高度函数(height function)来表征[5]

随着代数几何的现代抽象发展,在非代数闭域上定义的代数簇的结构已成为人们关注的中心领域。 在有限域上,平展上同调(Étale cohomology)提供了与代数簇相关的拓扑不变量[6]。 p-adic Hodge 理论提供了工具来检查复数上的品种的上同调性质何时扩展到P進數上的上同调性质[7]

历史[编辑]

算术几何原指从法尔廷斯(Faltings,G.)、奎伦(Quillen,D.G.)等的算术曲面上黎曼-罗赫定理开始的一系列研究工作,现在一般指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中许多学科起着重要作用,并且相互交叉和渗透,包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、黎曼面、K理论等,所以,它是典型的边缘学科。丢番图方程是算术几何的一个重要课题,其中的问题可以自然地用几何语言表达。在许多著名问题如莫德尔猜想、费马大定理等的研究中,都表明几何方法的必要性。这正是算术几何的生命力所在。

参阅[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ Sutherland, Andrew V. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). September 5, 2013 [22 March 2019]. (原始内容存档 (PDF)于2016-01-08). 
  2. ^ Klarreich, Erica. Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. June 28, 2016 [March 22, 2019]. (原始内容存档于2021-01-25). 
  3. ^ Poonen, Bjorn. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). 2009 [March 22, 2019]. (原始内容存档 (PDF)于2021-05-07). 
  4. ^ nLabArithmetic geometry條目
  5. ^ Lang, Serge. Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. 1997: 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051. 
  6. ^ 引用错误:没有为名为grothendieck-cohomology的参考文献提供内容
  7. ^ Serre, Jean-Pierre. Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France (Paris). 1967: 49–58.