严谨 (数学)

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数学上,严谨不同于生活中的严谨,它指数学系统(尤指公理系统)的完备性相容性

完备性指公理数量不多不少正好可以推导出这门学科的全部结论;自洽性指公理系统内不存在悖论(即既是真又是假的命题)。比如绝对几何学加上第五公设就成为欧式几何,或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何,但后两者并不满足完备性要求,只有绝对几何学才是度量几何类中的完备系统。自洽性哥德爾不完備定理并不矛盾,前者断言不存在既真又假的命题,而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题,就好比第五公设之于度量几何连续统假设之于集合论选择公理之于ZF系统

参考文献[编辑]

  • 参见徐利治的《微积分大意》