中線定理

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中線定理,又稱阿波羅尼奧斯定理,是歐氏幾何的定理,表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價平行四邊形恆等式

中線定理[编辑]

對任意三角形,設是線段的中點,為中線,則有如下關係:

證明[编辑]

萊布尼茨標量函數約簡,可以容易導出這性質:只需要在兩個平方中引入

得出

的中點,因此相反,可知式中兩個標積抵消。又因,得出

另一個證法[编辑]

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這可能是阿波羅尼奧斯的證明方法,因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下: 設是從的垂足,則是直角三角形。用勾股定理可得

所以

表達出來(記得的中點,因此)。注意到雖然現在的情形假設在線段上,但其他情形也可以用這個方法。

代入前式:

現在是直角三角形,因此

代入前式得出

中線的向量表達式[编辑]

是線段的中點,則有

中線的另一條定理[编辑]

用標積表示,其中到線的垂足。

從上得到中線的另一條定理

實際上

投影在 上是,因而有.

這兩個共線向量的標積可等於或其負數,因此取絕對值。

參見[编辑]