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么半範疇

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張量範疇(tensor category),或曰么半範疇(monoidal category), 直覺地講,是個配上張量積阿貝爾範疇(abelian category),可當作範疇化

定義[编辑]

數學中中,一個張量範疇(tensor category,或稱幺半範疇 monoidal category)是一個包含單一個對象的雙範疇)bicategory)。 更具體的描述:一個張量範疇

  • 一個範疇 ;
  • 被賦予張量積,即一個二元函子
;
  • 被賦予一個單位對象 ;
  • 被賦予三組自然同構映射
    • 結合子: ;
    • 左/右單位子: 自然同構映射 , :
,
;
  • 滿足以下相容條件:
, , , ,
Monoidal-category-pentagon.png
Monoidal-category-triangle.png
都交換.///

在這以上兩道相容條件下,任何以結合子,左右單位子張量積組成的圖表都交換,因為 Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem): 每個幺半範疇都 幺半等價(monoidally equivalent) 於一嚴格幺半範疇(見下).

嚴格幺半範疇[编辑]

嚴格幺半範疇(strict monoidal category) 是個幺半範疇 ,其自然態射 , 都是恆等影射.

取任一 範疇 , 我们可構築其 自由嚴格幺半範疇 :

  • 對象:其每一對象是一串由裡面的對象組成之有限序列 );
  • 態射:當且僅當時,我们在二個對象 之間定義 態射:每 -態射 是一串由 -態射組成的有限序列
  • 張量積: 二個-對象張量積, 我们定義為 此二有限序列之串接(concatenation) ; 同樣地任何二 -態射之張量積, 我们定義為其串接。

按:此算符 ,向由任一 範疇 配上 ,可推廣到 上的嚴格-2-單子 (strict 2-monad)。

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取任一範疇,若以其平常範疇積作張量積,以其終對象作單位對象,則成為一個張量範疇。 亦可取任一範疇,以其餘積(co-product)作張量積,以其始對象作單位對象,亦成一個張量範疇。 (此二例實為對稱么半範疇結構。) 但亦有許多張量範疇(例如:-Mod,如下),其張量積 既非 範疇積 亦非 範疇餘積。

以下舉張量範疇二例——向量空間範疇和集合範疇——並表明其類比:

-Mod Set
取任一交換環 , 各 - 所成之 範疇 -模 (若R 為一域, 則 R-模即 R-向量空間) 是一 對稱么半範疇;其張量積 ⊗ 與單位對象為:. 範疇 為一對稱么半範疇賦有張量積 × 與單位對象 {*}.
單元結合代數為-模之 一對象,賦上態射 並滿足以下條件: A 么半群 為一對象 M ,配上態射

並滿足

結合律 結合律
and
單位關係. 單位關係.
A 餘代數(coalgebra) 是一個 對象 C ,被賦予 態射

並滿足以下條件:

內每一對象(即每一集合)S, 都被賦予 態射

滿足以下條件:

餘結合律(coassociativity) 餘結合律(coassociativity)
and and
餘單位關係(coidentity relations). 餘單位關係(coidentity relations).
此 ε 是唯一的,因為 (即一元集合)是個終對象.

相關的結構[编辑]

  • 很多張量範疇更進一步有 , 交換態射 or 封閉等结構. 詳見下述參考。
  • 么半函子英语monoidal functor為二張量範疇(么半範疇)間、保存張量積結構之函子; 么半態射為二么半函子間之態射(自然變換 (natural transformations))。
  • 一般么半群之概念可推廣成么半範疇中的么半對象英语monoid object。尤其者,可視一嚴格么半範疇作 範疇之「範疇」 Cat中的么半對象(並以卡氏積為么半結構)。
  • 上有界交半格 構成一嚴格對稱么半範疇:其積為交,而單位元則為頂。

應用[编辑]

參考[编辑]

  • Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
  • Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
  • Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
  • Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
  • Baez, John, Definitions
  • : <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works