乘法

3×4 = 12

乘法（英语：Multiplication），加法的連續運算，同一数的若干次连加，其運算結果稱為積（英语：Product）。

$\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n}=a\times n$$\underbrace {a+a+a+\cdots +a}_{{n}}=a\times n$

因為華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以前者是被乘數後者是乘數，使用中文敘述為n個a。

表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

• $5\times 2$$5\times 2$
• $5\cdot 2$$5\cdot 2$
• $(5)2$$(5)2$，$5(2)$$5(2)$，$(5)(2)$$(5)(2)$，$5[2]$$5[2]$，$[5]2$$[5]2$，$[5][2]$$[5][2]$
• $5*2$$5*2$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「$\times$$\times$」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）內出現。以「$\times$$\times$」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「$\cdot$$\cdot$」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「$*$$*$」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN（福傳）編程語言，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代数中，乘號經常省略掉，形式如$5x$$5x$和$xy$$xy$。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即$5\times 2$$5\times 2$不會表示成$52$$52$。

乘積可以用大写希臘字母Π（Pi，$\Pi$$\Pi$）來表示：

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$$\prod _{{i=m}}^{{n}}x_{{i}}:=x_{{m}}\cdot x_{{m+1}}\cdot x_{{m+2}}\cdot \ldots \cdot x_{{n-1}}\cdot x_{{n}}$

定義

兩個整數的積是：

$mn=\sum _{k=1}^{n}m$$mn=\sum _{{k=1}}^{n}m$

這是“將m加到自己n次”的簡化說法。更清晰來說：

$mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}$$mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m}_{{n}}$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

• 交換律：$xy=yx$$xy=yx$
• 結合律：$(xy)z=x(yz)$$(xy)z=x(yz)$
• 分配律：$x(y+z)=xy+xz$$x(y+z)=xy+xz$

將任何數乘以一都會等於該數本身，即$1x=x$$1x=x$，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即$0x=0$$0x=0$。

當$x$$x$是量，$y$$y$是自然數，乘法的递归定義：

$0x=0$$0x=0$

$xy=x+x(y-1)$$xy=x+x(y-1)$

历史

孙子筹算乘法

印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

計算

• 計算機有特別的算法來處理大數之間的相乘，見乘法算法。
• 中國小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
• 史豐收速算法提出了用“本個 +後進”的方式來計算乘法。
• 尺規作圖作乘法的方法：給定長為$1$$1$的線，以及兩條線$AB$$AB$和$AC$$AC$，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為$AB$$AB$和$AC$$AC$，$AB$$AB$垂直$AC$$AC$于$A$$A$。在$AB$$AB$上畫出點$D$$D$使$DA=1$$DA=1$，連$D$$D$、$C$$C$為$DC$$DC$。畫一條通過$B$$B$、平行$DC$$DC$的線，延長$AC$$AC$，此兩條線的交於$E$$E$，$EA$$EA$即為所求之線。