乘法

3 × 4 = 12

乘法，加法的連續運算，同一数的若干次连加，其運算結果稱為積。

$\underbrace{a+a+a+ \cdots +a}_{n} = a \times n$

表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

• $5 \times 2$
• $5 \cdot 2$
• $(5)2$，$5(2)$，$(5)(2)$，$5[2]$，$[5]2$，$[5][2]$
• $5 * 2$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「$\times$」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）內出現。以「$\times$」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「$\times$」。

以「$\cdot$」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「$*$」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN（福傳）編程語言，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代数中，乘號經常省略掉，形式如 $5x$ 和 $xy$。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即 $5 \times 2$ 不會表示成 $52$。

乘積可以用大写希臘字母Π（Pi，$\Pi$）來表示：

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}$

定義

兩個整數的積是：

$mn = \sum_{k=1}^n m$

這是“將 m 加到自己 n 次”的簡化說法。更清晰來說：

$mn = \underbrace{m+m+m+ \cdots +m}_{n}$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

• 交換律：$xy = yx$
• 結合律：$(xy)z = x(yz)$
• 分配律：$x(y + z) = xy + xz$

將任何數乘以一都會等於該數本身，即$1x = x$，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即$0x = 0$。

當$x$是量，$y$是自然數，乘法的递归定義：

$0x = 0$

$xy = x + x(y - 1)$

历史

孙子筹算乘法

印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

計算

• 計算機有特別的算法來處理大數之間的相乘，見乘法算法。
• 中國小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
• 史豐收速算法提出了用“本個 + 後進”的方式來計算乘法。
• 尺規作圖作乘法的方法：給定長為$1\,$的線，以及兩條線$AB\,$和$AC\,$，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為$AB\,$和$AC\,$，$AB\,$垂直$AC\,$于$A\,$。在$AB\,$上畫出點$D\,$使$DA=1\,$，連$D\,$、$C\,$為$DC\,$。畫一條通過$B\,$、平行$DC\,$的線，延長$AC\,$，此兩條線的交於$E\,$，$EA\,$即為所求之線。