二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素:二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。
如在运算1+2之中,二元运算符为“+”,而该运算符作用的操作数分别为1与2。
二元运算只是二元函数的一种,由于它被广泛应用于各个领域,因此受到比其它函数更高的重视。
给定集合
,二元函数
称为集合
上的二元运算。
通常写为
,而且比起使用字母,二元运算時常以某种运算符表示。
事實上
這個符號的意義 ,保證了只要
就會有
,這正是一般所說的二元運算的封閉性,也就是直觀上運算符
對
任二元素做運算的結果,仍然會在
裡。
常用性质和术语[编辑]
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设
:
是集合
上的二元运算,
,则:
- 称
为
在
下的左幺元,若
满足:
;
- 称
为
在
下的右幺元,若
满足:
;
- 称
为
在
下的幺元,若
满足:
既是
在二元运算
下的左幺元,又是
在二元运算
下的右幺元。
设
:
是集合
上的二元运算,
,
是
在
下的幺元。则:
- 称
是
在
下的左逆元,若
满足:
。
- 称
是
在
下的右逆元,若
满足:
。
- 称
是
在
下的逆元,若
满足:a既是
在
下的左逆元,又是
在
下的右逆元。(显然此时
也是
的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素
的逆元通常记为
。
设
:
是集合
上的二元运算,
,则:
- 称
为
在
下的左零元,若
满足:
;
- 称
为
在
下的右零元,若
满足:
;
- 称
为
在
下的零元,若
满足:z既是
在
下的左零元,又是
在
下的右零元。
设
:
是集合
上的二元运算,
且
,
是
在
下的零元。则:
- 称
是
中在
下的左零因子,若
满足:
,使
。
- 称
是
中在
下的右零因子,若
满足:
,使
。
- 称
为
在
下的零因子,若
满足:a既是
在
下的左零因子,又是
在
下的右零因子。
设
:
是集合
上的二元运算,则:
称
满足交换律,若
满足:
;
设
:
是集合
上的二元运算,则:
称
满足结合律,若
满足:
;
设
:
是集合
上的二元运算,则:
称
满足左消去律,若
满足:
称
满足右消去律,若
满足:
称
满足消去律,若
同时满足左消去律与右消去律。
设
:
是集合
上的二元运算,则:
称
满足幂等律,若
满足:
;
幂幺律[编辑]
设
:
是集合
上的二元运算,i是
在
下的幺元,
则:称
满足幂幺律,若
满足:
(显然此时每个元素都是它自己的逆元);
幂零律[编辑]
设
:
是集合
上的二元运算,z是
在
下的零元,
则:称
满足幂零律,若
满足:
,有
(显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);
设
:
和
:
是集合
上的两个二元运算,则:
- 称
对
满足左分配律,若
,
满足:
,有
;
- 称
对
满足右分配律,若
,
满足:
,有
;
- 称
对
满足分配律,若
對
滿足左分配律以及右分配律;