二刻尺作圖

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二刻尺作圖

二刻尺希腊语neuein)是一種幾何作圖的工具,在古希臘時期曾經和圓規直尺一樣是在尺規作圖合法的作圖工具。

構造[编辑]

二刻尺與一般尺規作圖所用的不同,尺規作圖用的尺上不能有刻度,而二刻尺上有兩個刻度(刻度可以是在作圖時標上去)。

使用方法[编辑]

尺規作圖中,被視為可以畫無限直線的工具,但只能用來將兩連接起來。而二刻尺除了可以將兩點連接起來,還有以下用法,假設上的兩刻度距離a,有兩條線lm和點P,可以用二刻尺找到一條通過P的直線,使得此直線與直线l和m的两个交點间的距離a

如圖,有兩條線lm和點P。可以將P對齊,並讓其中一個刻度保持在l(圖中黃點)上,慢慢轉動尺,直到另一個刻度碰到m(圖中藍點),此即為所求(圖中深藍色線)。

幾何作圖[编辑]

二刻尺可以解出單用直尺和圓規無法解決的問題,例如三等分角正七邊形

用二刻尺做三等分角

三等分角[编辑]

  • 已知角a,以B點為圓心,二刻尺刻度間距為半徑畫圓。
  • 角a的兩邊其中一邊交圓於A點,並畫另一邊的延長線
  • 將二刻尺固定在A點,並將兩刻度一個移到圓上,另一個移到角a一邊的延長線上,分別稱為C點和D點。(即是使CD = AB)
  • 角b即為角a的三等分角。
用二刻尺作正七邊形

正七邊形[编辑]

用二刻尺作倍立方

倍立方[编辑]

  • 以二刻尺刻度的間距做AB=BC=CA=BD,且A、B、D共線。
  • 將二刻尺固定在A點,並將兩刻度一個移到CD的延長線上,另一個移到BC的延長線上,分別稱為G點和H點。
  • AG的長度就是二刻尺刻度的間距的\sqrt[3]{2}倍。

二刻尺的沒落[编辑]

數學史學家T.L.希思T. L. Heath)認為古希臘數學家恩諾皮德斯[註 1](公元前440年左右)是第一個把圓規和直尺的地位提高的人。這種避免使用二刻尺的理念多少影響了同一時期、同一座島上的几何学希波克拉底Hippocrates of Chios,不是醫師希波克拉底[註 2](公元前430年左右)。100年後,歐幾里得在其著作中也盡量避免使用二刻尺作圖。

公元前4世紀,受到柏拉圖理念论影響,尺規作圖被分成三個等級。這三個等級分別是:

  1. 只用圓和直線作圖(一般的尺規作圖)。
  2. 除了圓和直線,允許使用圓錐曲線作圖(橢圓拋物線雙曲線)。
  3. 使用其他方法作圖(例如:二刻尺、阿基米德螺線)。

二刻尺被放在第三級是因為它可以解決前兩級所不能解決的問題[註 3],因此二刻尺被當成解決問題的最終手段,這種簡單而有力的作圖工具也逐漸被當成不正當的作圖工具。希臘數學家亚历山大里亚的帕普斯Pappus of Alexandria,公元前325年左右)認為:「這是一個不小的錯誤」。

注释[编辑]

  1. ^ 恩諾皮德斯是最早提出尺規作圖原則的人。
  2. ^ 希波克拉底是我們目前所知第一個將幾何作圖條理化的人
  3. ^ 直尺、圓規和圓錐曲線最多只能解決二次方程的題目,而二刻尺至少可以解決三次方程的題目。

参考文献[编辑]

  • R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894-), Supplement 9 (1962) 415-461.(德文)
  • The Mathematical Gazette, Vol. 59, No. 407 (Mar., 1975), pp. 17-21

外部連結[编辑]

參見[编辑]