# 二次型

$4x^2 + 2xy - 3y^2$

## 介绍

$q(x) = ax^2$
$q(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy$
$q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz$

$q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^2=\|(x,y,z)\|^2=x^2+y^2+z^2.$

## 定义

V是在交换环R上的R经常是比如实数，在这种情况下V向量空间

• Q(av) = a2 Q(v)对于所有$a \in R$$v \in V$，并且
• 2B(u,v) = Q(u+v) − Q(u) − Q(v)是在V上的双线性形式

V的两个元素uv被称为正交的，如果B(u, v)=0。

## 性质

$Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)$
• 向量uv是关于B正交的，当且仅当
$Q(u+v) = Q(u) + Q(v)$

## 对称双线性形式

2Q(u) = B(u,u)

Q(u) = B(u,u)/2.

$F(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy$.

$M= \begin{bmatrix} a & c/2 \\ c/2 & b \end{bmatrix}.$

F(x)=xT·M·x

$2 Q(u) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j$

## 实二次形式

• 它被称为是正定的（或者负定的），如果$Q(v)>0$ (或者$Q(v)<0$)对于所有向量$v\ne 0$
• 如果我们放松严格不等于为≥或≤，则形式$Q$被称为半定的。
• 如果$Q(v)<0$对于某个$v$而且$Q(v)>0$对于另一个$v$，则$Q$被称为不定的。

$A$是如上那样关联于$Q$的实数对称矩阵，所以对于任何列向量$v$

$Q(v)=v^T Av.$

## 参考资料

1. ^ A tradition going back to 高斯 dictates the use of manifestly even coefficients for the products of distinct variables, i.e. 2b in place of b in binary forms and 2d, 2e, 2f in place of d, e, f in ternary forms. Both conventions occur in the literature

## 引用

• O'Meara, T. Introduction to Quadratic Forms. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2000. ISBN 3-540-66564-1.