二面體群

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雪花有正六邊形的二面體對稱。
群论
Rubik's cube.svg

數學中,二面體群 是正 邊形的對稱群,具有 個元素。某些書上則記為 。除了 的情形外, 都是非交換群。

生成元與關係[编辑]

抽象言之,首先考慮 循環群 。反射 上的自同構,而且 。定義二面體群為半直積

任取 的生成元 生成,其間的關係是

的元素均可唯一地表成 ,其中

幾何詮釋[编辑]

n=5 的情形:反射對稱
n=5 的情形:旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 中由

(旋轉 弧度)
(對 x 軸反射)

生成的子群。由此不難看出 是正 n 邊形的對稱群。

性質[编辑]

  • 的中心在 為奇數時是 ,在 為偶數時是
  • 為奇數時, 同構於 與二階循環群的直積。同構可由下式給出:

其中

  • 為奇數時, 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 邊形的頂點。
  • ,則 ,由此可導出 共有 個子群,其中的算術函數 分別代表 的正因數個數與正因數之和。

表示[编辑]

為奇數時, 有兩個一維不可約表示:

為偶數時, 有四個一維不可約表示:

正八邊形的停車標誌群作用下的結果

其餘不可約表示皆為二維,共有 個,形如下式:

其中 是任一 n 次本原單位根。由 給出的表示相等價若且唯若

文獻[编辑]