# 二項式分布

记号 概率质量函數 累積分布函數 ${\displaystyle \operatorname {B} (n,p)}$ ${\displaystyle n>0}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ ${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,\lfloor k\rfloor +1)}$ ${\displaystyle np}$ ${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$或${\displaystyle \lceil np\rceil }$ ${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ ${\displaystyle np(1-p)}$ ${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}}$ ${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}}$ ${\displaystyle (1-p+pz)^{n}}$

## 定义

${\displaystyle \Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad (k=0,1,\ldots ,n),}$

### 推导

${\displaystyle SSFSF}$

${\displaystyle \,n\,}$个不同元素中选出含${\displaystyle \,k\,}$个元素的子集的方法数量等于二项式系数

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$[4]

${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$[5]

## 性质

${\displaystyle G(z)=(1-p+pz)^{n},}$

${\displaystyle M_{X}(t)=(1-p+pe^{t})^{n},}$

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-p+pe^{it})^{n}.}$[3][11]

### 二项分布的和

${\displaystyle \,X_{1},X_{2}\,}$两个随机变量独立，分别服从参数为${\displaystyle \,n_{1},p\,}$${\displaystyle \,n_{2},p\,}$的二项分布，则${\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}$即是在${\displaystyle \,n_{1}+n_{2}\,}$次独立伯努利试验中取得成功的次数，所以${\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}$服从参数为${\displaystyle \,n_{1}+n_{2},p\,}$的二项分布。这一结论亦可通过将两者的概率母函数相乘而得出。在条件${\displaystyle \,X_{1}+X_{2}=k\,}$之下，随机变量${\displaystyle \,X_{1}\,}$条件概率分布是参数为${\displaystyle \,k,n_{1},n_{1}+n_{2}\,}$的超几何分布。[14]

### 众数

${\displaystyle {\frac {\Pr(X=k+1)}{\Pr(X=k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}\quad (k=0,1,\ldots ,n-1),}$

### 中位数

${\displaystyle |m-np|<\max\{p,1-p\}.}$

${\displaystyle \,p>\ln 2\,}$${\displaystyle \,p<1-\ln 2\,}$，则该上界可进一步缩减为

${\displaystyle |m-np|<\ln 2.}$

${\displaystyle \,n\,}$奇数${\displaystyle \,p=1/2\,}$，则${\displaystyle \,(n-1)/2\,}$${\displaystyle \,(n+1)/2\,}$均为中位数。[16][17]

### 累积分布函数

${\displaystyle \Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,\lfloor k\rfloor +1),}$
${\displaystyle \Pr(X\geq k)=I_{p}(\lceil k\rceil ,n-\lceil k\rceil +1).}$[18]

### 矩

${\displaystyle \mu '_{r}=E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{j}}{(n-j)!}},}$

${\displaystyle \mu '_{1}=np,}$
${\displaystyle \mu '_{2}=np+n(n-1)p^{2},}$
${\displaystyle \mu '_{3}=np+3n(n-1)p^{2}+n(n-1)(n-2)p^{3},}$
${\displaystyle \mu '_{4}=np+7n(n-1)p^{2}+6n(n-1)(n-2)p^{3}+n(n-1)(n-2)(n-3)p^{4}.}$

${\displaystyle \mu _{2}=np(1-p),}$
${\displaystyle \mu _{3}=np(1-p)(1-2p),}$
${\displaystyle \mu _{4}=3[np(1-p)]^{2}+np(1-p)[1-6p(1-p)].}$[19]

## 近似

### 正态近似

${\displaystyle X'={\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$

${\displaystyle \,n\to \infty \,}$趋近于标准正态分布。这一结果称作，为中心极限定理的特殊形式。基于这一定理可以得到

${\displaystyle \Pr(\alpha <{\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}<\beta )\to \Phi (\beta )-\Phi (\alpha ),}$

${\displaystyle \Pr(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k+0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),}$

### 泊松近似

${\displaystyle \,n\to \infty ,p\to 0\,}$，而${\displaystyle \,np\,}$保持不变时，二项分布趋近于参数为${\displaystyle \,np\,}$泊松分布。以此为基础可以得到

${\displaystyle \Pr(X\leq k)\approx e^{-np}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(np)^{j}}{j!}}.}$[24]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\Pr(X=k)-\Pr(Y=k)\|\leq \min\{2np^{2},3p\}.}$[25]

## 参数估计

### 点估计

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x+1}{n+2}}.}$

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {\alpha +x+1}{\alpha +\beta +n+2}}.}$

### 区间估计

${\displaystyle \sum _{j=x}^{n}{n \choose j}p_{L}^{j}(1-p_{L})^{n-j}={\frac {\alpha }{2}},}$
${\displaystyle \sum _{j=0}^{x}{n \choose j}p_{U}^{j}(1-p_{U})^{n-j}={\frac {\alpha }{2}},}$

${\displaystyle {\frac {x}{n}}\pm {\frac {\lambda _{\alpha /2}}{\sqrt {n}}}{\sqrt {{\frac {x}{n}}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)}}.}$[30][31]

## 注释

1. Feller 1968，第146–147頁.
2. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第135–136頁.
3. Johnson, Kemp & Kotz 2005，第108頁.
4. ^ Feller 1968，第34頁.
5. ^ Feller 1968，第147–150頁.
6. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第109頁.
7. ^ Hald 2003，第54–63頁.
8. ^ Hald 2003，第223–228頁.
9. ^ Stigler 1986，第62–70頁.
10. ^ Stigler 1986，第70–85頁.
11. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第109–112頁.
12. ^ Feller 1968，第167–169頁.
13. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第140頁.
14. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第115頁.
15. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第112頁.
16. ^
17. ^
18. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第119頁.
19. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第110頁.
20. ^ Feller 1968，第182–185頁.
21. ^ Feller 1968，第185–186頁.
22. ^
23. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第116–117頁.
24. ^ Feller 1968，第153–154頁.
25. ^
26. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第126頁.
27. ^ Feller 1968，第123–124頁.
28. ^
29. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第130–131頁.
30. ^ Johnson, Kemp & Kotz 2005，第132頁.
31. ^