二項式分布

二項分布

概率质量函數
累積分布函數
记号	B(n, p)
参数	$n\geq 0$ 试验次数 (整数) $0\leq p\leq 1$ 成功概率 (实数)
值域	$k\in \{0,\dots ,n\}\!$
概率质量函数	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
累積分布函數	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!$
期望值	$n\,p\!$
中位數	$\{\lfloor np\rfloor ,\lceil (n+1)p\rceil \}$之一
眾數	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor \!$或$\lfloor (n+1)\,p\rfloor \!-1$
方差	$n\,p\,(1-p)\!$
偏度	${\frac {1-2\,p}{\sqrt {n\,p\,(1-p)}}}\!$
峰度	${\frac {1-6\,p\,(1-p)}{n\,p\,(1-p)}}\!$
熵	${\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)\!$
矩生成函数	$(1-p+p\,e^{t})^{n}\!$
特徵函数	$(1-p+p\,e^{i\,t})^{n}\!$

在概率论和统计学中，二项分布（英語：Binomial distribution）是$n$个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为$p$。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当$n=1$时，二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

详述

概率质量函数

一般來說，若随机变量${\mathit {X}}$服从参数为${\mathit {n}}$和${\mathit {p}}$的二项分布，我们记作$X\sim b(n,p)$或$X\sim B(n,p)$。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：

$f(k,n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

对于$k=0,1,2,\cdots ,n$，其中${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为$C(n,k)$，$_{n}C_{k}$，或$^{n}C_{k}$。该公式可以用以下方法理解：我们希望有$k$次成功（機率為$p^{k}$）和$n-k$次失败（機率為$(1-p)^{n-k}$）。然而，$k$次成功可以在${\mathit {n}}$次试验的任何地方出现，而把$k$次成功分布在${\mathit {n}}$次试验中共有$C(n,k)$个不同的方法。

在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上${\frac {n}{2}}$个值。这是因为$k>{\frac {n}{2}}$时的概率可以从它的补集计算出：

$f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p)\,$

因此，我们要看另外一个$k$和另外一个$p$（二项分布一般不是对称的）。然而，它的表现不是任意的。总存在一个整数$M$，满足:

$(n+1)p-1<M\leq (n+1)p\,$

作为$k$的函数，表达式$f(k;n,p)$当$k<M$时单调递增，$k>M$时单调递减，只有当$(n+1)p$是整数时例外。在这时，有两个值使$f$达到最大：$(n+1)p$和$(n+1)p-1$。$M$是伯努利试验的最可能的结果，称为众数。注意它发生的概率可以很小。

累积分布函数（概率分布函数）

累积分布函数可以表示为：

$F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

其中$\lfloor x\rfloor \,$是小于或等于$x$的最大整数。

它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示：

${\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt\end{aligned}}$

期望和方差

如果$X\sim B(n,p)$（也就是说，$X$是服从二项分布的随机变量），那么$X$的期望值为

$\operatorname {E} [X]=np$

方差为

$\operatorname {Var} [X]=np(1-p).$

这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为$p$，后者的概率为$1-p$。该试验的期望值等于$\mu =1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$。该试验的方差也可以类似地计算：$\sigma ^{2}=(1-p)^{2}\cdot p+(0-p)^{2}\cdot (1-p)=p(1-p)$.

一般的二项分布是$n$次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：

$\mu _{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu =np,\qquad \sigma _{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\sigma ^{2}=np(1-p).$

众数和中位数

通常二项分布$B(n,p)$的众数等于$\lfloor (n+1)p\rfloor$，其中 $\lfloor \cdot \rfloor$ 是取整函数。然而，当$(n+1)p$是整数且$p$不等于0或1时，分布有两个众数：$(n+1)p$和$(n+1)p-1$。当$p$等于0或1时，众数相应地等于0或$n$。这些情况可以综述如下：

${\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{若 }}(n+1)p{\text{ 是 0 或 非 整 数 }},\\(n+1)\,p\ {\text{ 和 }}\ (n+1)\,p-1&{\text{若 }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{若 }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}$

一般地，没有一个单一的公式可以求出二项分布的中位数，甚至中位数可能是不唯一的。然而有几个特殊的结果：

• 如果$np$是整数，那么平均数、中位数和众数相等，都等于$np$。
• 任何中位数$m$都位于区间$\lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil$内。
• 中位数$m$不能离平均数太远：$\left\vert m-np\right\vert \leq \min\{\ln 2,\ \max\{p,1-p\}\}$。
• 如果$p\leq 1-\ln 2$，或$p\geq \ln 2$，或$\left\vert m-np\right\vert \leq \min\{p,1-p\}$（除了$p={\frac {1}{2}}$、$n$是奇数的情况以外），那么中位数是唯一的，且等于$m=\mathrm {round} (np)$。
• 如果$p={\frac {1}{2}}$，且$n$是奇数，那么区间${\frac {1}{2}}(n-1)\leq m\leq {\frac {1}{2}}(n+1)$中的任何数$m$都是二项分布的中位数。如果$p={\frac {1}{2}}$且$n$是偶数，那么$m={\frac {n}{2}}$是唯一的中位数。

两个二项分布的协方差

如果有两个服从二项分布的随机变量$X$和$Y$，我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义，当$n=1$时我们有

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu _{X}\mu _{Y}.$

第一项仅当$X$和$Y$都等于1时非零，而$\mu _{x}$和$\mu _{y}$分别为$X=1$和$Y=1$的概率。定义$p_{B}$为$X$和$Y$都等于1的概率，便得到

$\operatorname {Cov} (X,Y)=p_{B}-p_{X}p_{Y},\,$

对于n次独立的试验，我们便有

$\operatorname {Cov} (X,Y)_{n}=n(p_{B}-p_{X}p_{Y}).\,$

如果$X$和$Y$是相同的变量，便化为上面的方差公式。

与其他分布的关系

二项分布的和

如果$X\sim B(n,p)$和$Y\sim B(m,p)$，且$X$和$Y$相互独立，那么$X+Y$也服从二项分布；它的分布为

$X+Y\sim B(n+m,p).\,$

伯努利分布

伯努利分布是二项分布在$n=1$时的特殊情况。$X\sim B(1,p)$与$X\thicksim \mathrm {Bern} (p)$的意思是相同的。相反，任何二项分布$B(n,p)$都是$n$次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为$p$。

泊松二项分布

二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布是$n$次独立、不相同的伯努利试验($p_{i}$)的和。如果$X$服从泊松二项分布，且$p_{1}=\cdots =p_{n}=p$，那么$X\sim B(n,p)$。

正态近似

$n=6$、$p=0.5$时的二项分布以及正态近似

如果$n$足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么$B(n,p)$的一个很好的近似是正态分布：

${\mathcal {N}}(np,\,np(1-p))$

${\mathcal {Var}}(x)=np(1-p)$

$n$越大（至少30），近似越好，当$p$不接近0或1时更好。不同的经验法则可以用来决定$n$是否足够大，以及$p$是否距离0或1足够远：

• 一个规则是$np$和$n(1-p)$都必须大于5。

泊松近似

当试验的次数趋于无穷大，而乘积$np$固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为$\lambda =np$的泊松分布可以作为二项分布$B(n,p)$的近似，如果$n$足够大，而$p$足够小。

极限

• 当$n$趋于$\infty$，$p$趋于0，而$np$固定于$\lambda >0$，或至少$np$趋于$\lambda >0$时，二项分布$B(n,p)$趋于期望值为λ的泊松分布。

• 当$n$趋于$\infty$而$p$固定时，

${X-np \over {\sqrt {np(1-p)\ }}}$

的分布趋于期望值为 0、方差为 1的正态分布。这个结果是中心极限定理的一个特殊情况。

例子

一个简单的例子如下：掷一枚骰子十次，那么掷得4的次数就服从$n=10$、$p={\frac {1}{6}}$的二项分布。

參見

• 概率论
• 機率分布
• 卜瓦松分布
• 负二项分布