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二项式定理

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二项式系数出现在杨辉三角(帕斯卡三角)中。除边缘的数字外,其他每一个数都为其上方两数之和。

初等代數中,二项式定理英语Binomial theorem)描述了二项式的代数展开。根据该定理,可以将两个数之和的整数次幂诸如(x + y)n 展开为类似 axbyc 项之和的恒等式,其中bc均为非负整数且b + c = n。系数a是依赖于nb的正整数。当某项的指数为0时,通常略去不写。例如:[1]

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

axbyc 中的系数a被称为二项式系数,记作 \tbinom nb\tbinom nc(二者值相等)。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理[2]

历史[编辑]

杨辉三角形

二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献,他在17世纪描述了这一现象[3]。但早在他之前,就曾有数学家进行类似的研究。例如,古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况[4][5]。公元前三世纪,印度数学家青目探讨了更高阶的情况。「帕斯卡三角形」的雏形于10世纪由印度数学家大力羅摩发现。在同一时期,波斯数学家卡拉吉英语Al-Karaji[6]和数学家兼诗人歐瑪爾·海亞姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪,中国数学家杨辉也得到了类似的结果[7]卡拉吉英语Al-Karaji数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形的有关证明[6]艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数[8]

定理的陈述[编辑]

以幾何的方式解釋二项式定理 [9]

根据此定理,可以将 x + y 的任意次幂展开成和的形式

(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,

其中每个  \tbinom nk 为一个称作二项式系数的特定正整数,或记作  \rm{C}_k^n,其等於\frac{n!}{k!(n-k)!}。这个公式也称二项式公式二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

后面的表达式只是将根据 xy 的对称性得出的,通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换 y 得到的,所以它只涉及一个变量。在这种形式中,公式写作

(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,

或者等价地

(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.


證明[编辑]

數學歸納法[编辑]

n=1

 (a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k } a^{1-k}b^k = { 1 \choose 0 }a^1b^0+{ 1 \choose 1 }a^0b^1 = a+b

假設二项展开式在 n=m 時成立。若n=m+1

 (a+b)^{m+1}  =  a(a+b)^m + b(a+b)^m
 =  a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j
 =  \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}ab乘入
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1} 取出k=0的項
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k} j = k-1
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1} 取出k=m+1
 =  a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k 兩者加起
 =  a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k 套用帕斯卡法則
 =  \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

組合方法[编辑]

考慮(a+b)^7=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),共7個括號相乘,從7個括號選出其中的4個括號中的a,再從剩餘的3個括號中選出3個b相乘,便得一組a^4b^3,而這樣的選法共有\tbinom 74種,故總共有\tbinom 74a^4b^3;其他各項同理。

同理,(a+b)^n=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b),共n個括號相乘,從n個括號選出其中的k個括號中的a,再從剩餘的(n-k)個括號中選出(n-k)個b相乘,便得一組a^kb^{n-k},而這樣的選法共有\tbinom nk種,故總共有\tbinom nka^kb^{n-k};其他各項同理。

不盡相異物排列方法[编辑]

考慮(a+b)^7=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),每一個括號可以出a或出b,而最後要有4個a、3個b相乘,這形同aaaabbb的「不盡相異物排列」,其方法數為\frac{7!}{4! \times3!},恰好等於\tbinom 74;其他各項同理。

同理,(a+b)^n=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b),每一個括號可以出a或出b,而最後要有ka、(n-k)個b相乘,這形同aa....aabb....bb的「不盡相異物排列」,其方法數為\frac{n!}{k! \times(n-k)!},恰好等於\tbinom nk;其他各項同理。

一般形式的证明[编辑]

通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式

f(x)=(1+x)^\alpha, g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}x^k. 注意只有当 |x|<1时上述两个函数才收敛

  • 首先证明 f(x)收敛于1. 这里省略
  • 之后, 易得f(x)满足微分方程: (1+x)f'(x) = \alpha f(x). 用求导的一般方法就能得到这个结论, 这里省略
  • 再证明 g(x)亦满足上述微分方程:


\begin{align}
g'(x) & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose k}k x^{k-1}  \\
      & = \sum_{k=-1}^{\infty}{a\choose (k+1)}(k+1)x^{k} \\
      & = {a \choose 0} 0 x^{-1} + \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\
      & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\
      & = \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}(a-k) x^k \\
\end{align}


\begin{align}
{a \choose {k+1} }(k+1) & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{(k+1)!}(k+1) \\
                   & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{k!} \\
                   & = {a \choose k}(a-k)
\end{align}

于是 (1+x)g'(x) = g'(x) + \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}kx^k = ag(x)

  • H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}, 由于g(x)f(x)满足同样的微分方程, H'(x) = 0, 于是H(x)是一个常数, 即f(x) = ag(x)
  • 代入x = 0的情况, 证明a = 1

应用[编辑]

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分[10] 。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

证明组合恒等式[编辑]

二项式定理给出的系数可以视为组合数 {n \choose k} 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。比如证明  \sum _{k=0} ^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}

可以考虑恒等式  (1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n}。 展开等式左边得到:  \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n { n \choose i} {n \choose j} x^i x^j。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到  \sum_{k=0}^{2n}  { 2n \choose k} x^k 。 比较两边幂次为  k 的项的系数可以得到:  \sum_{i=0} ^k { n \choose i} {n \choose k - i} = {2n \choose k} 。 令  k=n,并注意到 { n \choose i} = {n \choose n - i} 即可得到所要证明的结论。

多倍角恒等式[编辑]

复数中,二项式定理可以與棣莫弗公式結合,成為多倍角公式[11]。根據棣莫弗公式:

\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.\,

通過使用二项式定理,右邊的表達式可以擴展為

\left(\cos x+i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,

由棣莫弗公式,实部与虚部对应,能夠得出

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,

即二倍角公式。同樣,因為

\left(\cos x+i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,

所以藉棣莫弗公式,能夠得出

\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.

整體而言,多倍角恒等式可以寫作

\cos(nx) = \sum_{k\text{ even}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x

\sin(nx) = \sum_{k\text{ odd}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.

e级数[编辑]

數學常數e的定義爲下列極限值:[12]

e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.

使用二项式定理能得出

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.

k项之總和為

{n \choose k}\frac{1}{n^k} \;=\; \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}

因為n → ∞,右邊的表达式趋近1。因此

\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.

這表明e可以表示为[13][14]

e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.

推广[编辑]

该定理可以推广到对任意实数次幂的展开,即所谓的牛顿广义二项式定理

 (x + y)^\alpha = \sum _{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^{\alpha - k} y^k 。其中 {\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha-1) ... (\alpha - k +1)}{k!} = \frac{(\alpha)_k}{k!}

多项式展开[编辑]

对于多元形式的多项式展开,可以看做二项式定理的推广:[15][16]
\left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^{k}=\sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha _n=k}\frac{k!}{\alpha _1!...\alpha _n!}x_1^{\alpha _1}...x_n^{\alpha _n}.

证明:


数学归纳法。对元数n做归纳:
当n=2时,原式为二项式定理,成立。
假设对n-1元成立,则:

\left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^{k}
= ((x_1+x_2+...+x_{n-1})+x_n)^{k}
= \sum_{\alpha _n=0}^{k}\frac{k!}{\alpha _n!\left ( k-\alpha_n \right )!}\left ( x_1+x_2+...+x_{n-1} \right )^{k-\alpha _n}x_n^{\alpha _n}
= \sum_{\alpha _n=0}^{k}\frac{k!}{\alpha _n!\left ( k-\alpha_n \right )!}\sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha _{n-1}=k-\alpha _n}\frac{\left ( k-\alpha _n \right )!}{\alpha _1!...\alpha _{n-1}!}x_1^{\alpha _1}...x_{n-1}^{\alpha _{n-1}}x_n^{\alpha _n}
= \sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha _n=k}\frac{k!}{\alpha _1!...\alpha _n!}x_1^{\alpha _1}...x_n^{\alpha _n}证毕

参见[编辑]

参考文獻[编辑]

  1. ^ Binomial Expansions - leeds uk
  2. ^ Roman, Steven "The Umbral Calculus", Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44129-3
  3. ^ Devlin, Keith, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books; 1 edition (2008), ISBN 978-0-465-00910-7, p. 24.
  4. ^ Binomial Theorem - wolfram mathworld
  5. ^ The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157
  6. ^ 6.0 6.1 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji//MacTutor History of Mathematics archive 
  7. ^ Landau, James A. Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle (mailing list email). Archives of Historia Matematica. 1999-05-08 [2007-04-13]. 
  8. ^ Bourbaki: History of mathematics
  9. ^ The Geometry of the Binomial Theorem The Geometry of the Binomial Theorem - Math Awareness
  10. ^ Błaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail; Sherry, David, Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking, Foundations of Science, 2012, arXiv:1202.4153, doi:10.1007/s10699-012-9285-8 
  11. ^ Multiple-Angle Formulas - MathWorld
  12. ^ The Constant e - NDE/NDT Resource Center
  13. ^ Series - NTEC
  14. ^ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
  15. ^ 多項式定理的新證明及其展開 - 佛山科学技术学院信息科学与数学系
  16. ^ Multinomial coefficient//Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

參考書目[编辑]

  • Bag, Amulya Kumar. Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci. 1966, 1 (1): 68–74. 
  • Barth, Nils R. (November 2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, author's copy, further remarks and resources
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren. (5) Binomial Coefficients. Concrete Mathematics 2nd. Addison Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857. 

外部链接[编辑]

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