五引理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

同調代數中,五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立,也對範疇成立。

陳述[编辑]

在任一阿貝爾範疇(例如阿貝爾群的範疇)或範疇中,考慮以下的交換圖:

FiveLemma.png

五引理的敘述是:如果橫列正合m, p 是同構,l 是滿射而 q 是單射,則 n 是同構。

兩個四引理的敘述是:

(1) 考慮交換圖 FourLemma01.png

若其橫行正合,m, p 是滿射而 q 是單射,則 n 是滿射。

(2) 考慮交換圖 FourLemma02.png

若其橫行正合,m, p 是單射而 l 是滿射,則 n 是單射。

證明[编辑]

以下採用的證法俗稱「圖追蹤」,它看似繁複,其實習慣後只是例行程序罷了。

為進行圖追蹤,以下假設所論範疇為某個上的範疇,因此可以談論對象的元素,並將態射視為模的同態。此時單射、滿射等等性質相應於集合論意義上的性質。根據Mitchell嵌入定理,可導出一般範疇上的情形。

對於群範疇,僅須注意到證明內容未用到群的交換性。

FourLemma01.png

  1. c' \in C'
  2. 由於 p 是滿射,存在 d \in D 使得 p(d)=t(c')
  3. 根據圖的交換性,u(p(d)) = q(j(d))
  4. 根據正合性, \mathrm{Im}(t) = \mathrm{Ker}(u),故 0=u(t(c')) = u(p(d)) = q(j(d))
  5. 因為 q 是單射,j(d)=0,故 d \in \mathrm{Ker}(j) = \mathrm{Im}(h)
  6. 於是存在 c \in C 使得 h(c)=d
  7. 遂有 t(n(c))=p(h(c)) = t(c')。因為 t 是同態,有 t(c'-n(c))=0
  8. 根據正合性,c'-n(c) \in \mathrm{Im}(s),故存在 b' \in B' 使得 s(b')=c'-n(c)
  9. 因為 m 是滿射,存在 b \in B 使得 b' = m(b)
  10. 根據圖的交換性 n(g(b))=s(m(b))=c'-n(c)
  11. 因為 n 是同態,n(g(b)+c)=n(g(b))+n(c)=c'-n(c)+n(c)=c'
  12. 由此可知 n 是滿射。證畢。

為證明 (2),在下圖中假設 mp 是單射,而 l 是滿射。

FourLemma02.png

  1. c \in C 使得 n(c)=0
  2. 於是 t(n(c))=0
  3. 根據圖的交換性,p(h(c))=0
  4. 因為 p 是單射,h(c)=0
  5. 根據正合性,存在 b \in B 使得 g(b)=c
  6. 根據圖的交換性,s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0
  7. 根據正合性,存在 a' \in A' 使得 r(a')=m(b)
  8. 因為 l 是滿射,存在 a \in A 使得 l(a)=a'
  9. 根據圖的交換性,m(f(a)) = r(l(a)) = m(b)
  10. 因為 m 是單射,f(a)=b
  11.  c = g(f(a)) = 0
  12. 由此可知 n 是單射。證畢。

結合兩個四引理,便可證得五引理。

應用[编辑]

五引理通常用於長正合序列:在計算一個對象的同調上同調群時,我們通常利用一個較簡單的子對象,其同調或上同調已知,再配合長正合序列進行計算。長正合序列本身不一定能確定所求的同調或上同調,此時可以試著以態射比較原對象與一個已知的對象,此態射導出長正合序列的鏈映射,此時五引理有助於決定未知的同調或上同調群。

相關主題[编辑]