五引理

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同調代數中,五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立,也對範疇成立。

陳述[编辑]

在任一阿貝爾範疇(例如阿貝爾群的範疇)或範疇中,考慮以下的交換圖:

FiveLemma.png

五引理的敘述是:如果橫列正合 是同構, 是滿射而 是單射,則 是同構。

兩個四引理的敘述是:

(1) 考慮交換圖 FourLemma01.png

若其橫行正合, 是滿射而 是單射,則 是滿射。

(2) 考慮交換圖 FourLemma02.png

若其橫行正合, 是單射而 是滿射,則 是單射。

證明[编辑]

以下採用的證法俗稱「圖追蹤」,它看似繁複,其實習慣後只是例行程序罷了。

為進行圖追蹤,以下假設所論範疇為某個上的範疇,因此可以談論對象的元素,並將態射視為模的同態。此時單射、滿射等等性質相應於集合論意義上的性質。根據Mitchell嵌入定理,可導出一般範疇上的情形。

對於群範疇,僅須注意到證明內容未用到群的交換性。

FourLemma01.png

  1. 由於 是滿射,存在 使得
  2. 根據圖的交換性,
  3. 根據正合性, ,故
  4. 因為 是單射,,故
  5. 於是存在 使得
  6. 遂有 。因為 是同態,有
  7. 根據正合性,,故存在 使得
  8. 因為 是滿射,存在 使得
  9. 根據圖的交換性
  10. 因為 是同態,
  11. 由此可知 是滿射。證畢。

為證明 (2),在下圖中假設 是單射,而 是滿射。

FourLemma02.png

  1. 使得
  2. 於是
  3. 根據圖的交換性,
  4. 因為 是單射,
  5. 根據正合性,存在 使得
  6. 根據圖的交換性,
  7. 根據正合性,存在 使得
  8. 因為 是滿射,存在 使得
  9. 根據圖的交換性,
  10. 因為 是單射,
  11. 由此可知 是單射。證畢。

結合兩個四引理,便可證得五引理。

應用[编辑]

五引理通常用於長正合序列:在計算一個對象的同調上同調群時,我們通常利用一個較簡單的子對象,其同調或上同調已知,再配合長正合序列進行計算。長正合序列本身不一定能確定所求的同調或上同調,此時可以試著以態射比較原對象與一個已知的對象,此態射導出長正合序列的鏈映射,此時五引理有助於決定未知的同調或上同調群。

相關主題[编辑]