五格骨牌

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五格骨牌(Pentomino),又稱五連塊傷腦筋十二塊,是一種多格骨牌英语polyomino,每塊以五個全等的正方形連成,反射或旋轉視作同一種共有十二種,可以英文字母代表。其謎題,最早是英國人亨利·杜德耐於1907年所發明,書名《坎特伯雷趣题和其他奇特问题》(Canterbury Puzzles and Other Curious Problems)[1]

所有的五格骨牌,以及其對應的兩組命名,上方的命名是條目中會使用的名稱,下方的命名是康威的命名

五格骨牌列表[编辑]

1. Pentomino I.svg 2. Pentomino L.svg 3. Pentomino Y2.svg 4. Pentomino V.svg
5. Pentomino Q.svg 6. Pentomino U.svg 7. Pentomino T.svg 8. Pentomino J.svg
9. Pentomino Y3.svg 10. Pentomino Z.svg 11. Pentomino X.svg 12. Pentomino M.svg

旋轉與鏡射[编辑]

編號2, 3, 5, 8, 9的骨牌由於既非線對稱亦非點對稱,所以總共有8種固定五格骨牌。

編號4, 6, 7, 12的骨牌由於有一條對稱軸(其中4跟12的是斜的),因此只有4種固定五格骨牌。

編號10的骨牌有一個對稱點,因此也只有4種固定五格骨牌。

編號1的骨牌有兩條對稱軸跟一個對稱點,因此只有2種固定五格骨牌。

編號11的骨牌有四條對稱軸跟一個對稱點,因此只有唯一一種固定五格骨牌。

最小區域問題[编辑]

找出一個最小的區域,使得每一種五格骨牌都能個別放入,滿足這個條件的區域最少有九格,證明如下:

要放入1號骨牌,就需要一條長五格的直線,再考慮11號骨牌,它跟1號骨牌有三格會重疊(不然就需要九格,或者最長的直線就必須要有六格,然而這樣一來就會有八格了,而要再放入5號骨牌就需要第九格),此時,無論格子怎麼排,要再放入4號骨牌就需要第八格,而還要再放入5號骨牌又需要第九格,因此八格是不夠的。

平面填充[编辑]

用到全部12種五格骨牌的長方形:

長方形 解法數目
3×20 2
4×15 368
4×16(中間挖掉2×2) 47
5×12 1010
6×10 2339
8×8(中間挖掉2×2) 65
8×8(挖掉四個角) 2170

不用用到全部12種五格骨牌的長方形:

長方形 解法數目
3×5 7
3×10 145
3×15 201
4×5 50
4×10 2085
5×5 107
5×6 541
5×7 1396
5×8 3408
5×9 5902
5×10 6951
5×11 4103

所有12種五格骨牌都滿足康威準則,因此都可以只用同一種五格方塊,來填滿整個平面。

每一種五格骨牌都可以把長寬都放大三倍,變成一個45格單位的圖形,而且都可以用12種五格骨牌中的9種來拼出來。

放大三倍的五格骨牌編號 解法數目
1 201
2 113
3 86
4 63
5 497
6 48
7 106
8 68
9 125
10 131
11 15
12 91

雖然全部五種四格骨牌並不能拼成長方形,但是可以用一種五格骨牌跟全部五種四格骨牌拼成一個5×5的正方形,所有的五格骨牌當中,除了1號,4號,7號與11號外都可以做到。

堆砌體[编辑]

改用全等的立方體組合,就可以以此堆成長方體

長方體 解法數目
2×3×10 12
2×5×6 264
3×4×5 3940

但是,如果把立體(高度大於1)的五格立體骨牌也加進來,就會有29個五格立體骨牌(其中6個是另外6個的鏡射),從而堆不出長方體(因為總體積為145立方單位,但是145不可能拆成三個大於1的數的乘積)。

雙人遊戲[编辑]

以十二塊為基礎,可作一個雙人遊戲。每人輪流在一個8×8的格網上放其中一塊,使得每塊不重疊而沒有一塊用多於一次。最後一個放的人勝。這個遊戲是先手勝的。

1960年,桌上遊戲設計師艾力克斯·蘭多夫以此遊戲增加限放規則的補天棋

康威生命遊戲[编辑]

若以這十二種五格骨牌分別作為康威生命遊戲的起始狀態,則結局分別為:

1號骨牌:6步後變為「紅綠燈」(振盪狀態)

2號骨牌:9步後變為「紅綠燈」(振盪狀態)

3號骨牌:3步後即消失殆盡

4號骨牌:3步後變為「麵包」(穩定狀態)

5號骨牌:4步後即消失殆盡

6號骨牌:4步後即消失殆盡

7號骨牌:10步後變為「紅綠燈」(振盪狀態)

8號骨牌:5步後即消失殆盡

9號骨牌:1103步後變為8個「板凳」(穩定狀態),4個「蜂窩」(穩定狀態),1個「麵包」(穩定狀態),1個「小船」(穩定狀態),1個「大船」(穩定狀態),4個「信號燈」(振盪狀態),6個「滑翔機」(會移動的振盪狀態)

10號骨牌:3步後即消失殆盡

11號骨牌:6步後變為「紅綠燈」(振盪狀態)

12號骨牌:2步後變為「麵包」(穩定狀態)

無蓋正方體的展開圖[编辑]

這十二種五格方塊當中,除了1, 4, 5, 6之外都可以摺成一個無蓋正方體。

參考文獻[编辑]

相關條目[编辑]

外部連結[编辑]