五次方程

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五次方程是一種最高次數為五次的多項式方程。本條目專指只含一個未知數的五次方程(一元五次方程),即方程形如

其中,abcdef复数域内的数,且a不为零。例如:

尋找五次方程的解一直是個重要的數學問題。一次方程二次方程很早就找到了公式解,經過數學家們的努力,後來三次方程四次方程也有了解答,但是之后很长的一段时间里沒有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下,解五次方程顯得格外的困難。

後來,保羅·魯菲尼英语Paolo Ruffini(Paolo Ruffini)和尼爾斯·阿貝爾證明了一般的五次方程,不存在統一的根式解(即由方程的係數通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解)[1]。認為一般的五次方程沒有公式解存在的看法其实是不正確的。事實上,利用一些超越函數,如Θ函数戴德金η函數即可構造出五次方程的公式解。另外,若只需求得數值解,可以利用數值方法(如牛頓法)得到相當理想的解答。

證明一般五次以上的方程式無根式解的人是埃瓦里斯特·伽羅瓦,他巧妙地利用群論處理了上述的問題。

布靈·傑拉德正規式[编辑]

對於一般的五次方程式

可以藉由以下的轉換

得到一個的五次多項式,上述的轉換稱為契爾恩豪森轉換英语Tschirnhaus transformation(Tschirnhaus transformation),藉由特別選擇的係數,可以使,, 的係數為,從而得到如下的方程式:

以上的化簡方法是由厄蘭·塞缪爾·布靈英语Erland Samuel Bring所發現,後來喬治·傑拉德英语George Jerrard也獨立發現了此法,因此上式稱為布靈·傑拉德正規式Bring-Jerrard normal form)。 其步驟如下: 首先令

可消去四次方項,得到

其中,

接下來,令, 得到

再令, 求得

第三步,利用契爾恩豪森想到的方法,令:

代入

得到

再令, 則得, 若令, 則可由以下兩個方程解得:


若以函數的觀點來看,方程

的解有兩個自變數 , 和

若再令

則方程式可以進一步化簡為如下形式:

它的解 是單一變數 的函數。

特殊五次方程的求根公式[编辑]

雖然一般的五次方程不存在根式解,但是對於某些特殊的五次方程,滿足某些條件後還是有根式解的。

型式1[编辑]

,当时,

型式2[编辑]

其中


型式3[编辑]

,当时,

參見[编辑]


引文[编辑]

  1. ^ 阿米爾·艾克塞爾(Amir D. Aezel). 費馬最後定理. 台北: 時報出版. 1998: p.87. ISBN 957-13-2648-8.