五複合立方體

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五複合立方體
五複合立方體
五複合立方體,每個立方體以不同顏色表示
類別 複合正多面體
30
60
頂點 20
歐拉特徵數 F=30, E=60, V=20 (χ=-10)
面的種類 本身結構
五個立方體
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram 2{5,3}[5{4,3}][2]
對稱群 二十面體群 (Ih)
參考索引 UC5
對偶 五複合正八面體
星狀圖英语Stellation_diagram 星狀英语Stellation 凸包
Second compound stellation of icosahedron facets.png
Icosahedron.png
正二十面體
Dodecahedron.png
正十二面體

幾何學中,五複合立方體,是一種由五個立方體組合成的星形多面體,其索引編號為UC9,是唯一五種正複合體之一[3]埃德蒙·赫斯在1876年首先描述了該複合體。

五複合立方體的對偶多面體是五複合正八面體。

構造[编辑]

擁有二十面體對稱五複合立方體可以由以原點為中心、面向軸的第一個立方體開始構造,其餘的立方體則透過軸旋轉弧度來構造,畢依這加入順序決定角度值中的n,例如第二個立方體n=1、第三個立方體n=2以此類推。

性質[编辑]

五複合立方體為五個立方體組合成的形狀,因此其邊、面和頂點的數量基本上應該會是立方體的5倍,但因為部分頂點是重合的,因此其僅有30個面、60條邊和20個頂點。

五複合立方體中可以找到菱形三十面體中的30個菱形[4][5]

結構[编辑]

五複合立方體可以視為正十二面體刻面英语faceting後的多面體,在正十二面體凸包中每個立方體定位在12個頂點中的其中8個頂點。

Cube in dodecahedron.png
Five cubes in a dodecahedron

頂點座標[编辑]

由於五複合立方體可以看作是在正十二面體中嵌入立方體,因此其頂點座標與正十二面體相同:

(±1, ±1, ±1)
(0, ±1/ϕ, ±ϕ)
1/ϕ, ±ϕ, 0)
ϕ, 0, ±1/ϕ)

其中ϕ = 1 + 5/2黃金比例

作為星形多面體[编辑]

五複合立方體可以看作是一種菱形三十面體的星形多面體[6][7]

星狀圖英语Stellation diagram 星形 星狀核 凸包
Stellation of rhombic triacontahedron 5 cubes facets.png Stellation of rhombic triacontahedron 5 cubes.png Rhombic triacontahedron.png
菱形三十面體
Dodecahedron.png
正十二面體

稜排佈[编辑]

五複合立方體的凸包是正十二面體。其與一些凸包也是正十二面體的多面體有著相同的稜排佈,例如小雙三斜三十二面體、大雙三斜三十二面體和雙三斜十二面體。

a{5,3} a{5/2,3} b{5,5/2}
CDel label5-2.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h3.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel label5-4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.png
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
小雙三斜三十二面體
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
大雙三斜三十二面體
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
雙三斜十二面體
Dodecahedron.png
正十二面體 (凸包)
Compound of five cubes.png
五複合立方體
Spherical compound of five cubes.png
球面的五複合立方體

其他的五個立方體複合圖形[编辑]

亦有其他也由五個立方體組合成的形狀,例如佛達里也斯的五複合立方體。這種形狀是一個八面體對稱的星形多面體。 Frodelius 5-Cube.png

參考文獻[编辑]

  1. Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge, 1997 . p 360
  2. Harman, Michael G., Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, c. 1974 .
  3. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79: 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440 .
  4. Cundy, H. and Rollett, A. "Five Cubes in a Dodecahedron." §3.10.6 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 135–136, 1989.
  1. ^ 1.0 1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  2. ^ Regular Polytopes (1973)[1] pp.49-50, p.98
  3. ^ Regular Polytopes (1973)[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
  4. ^ Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. ISBN 978-0486409146 p. 199
  5. ^ Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 135 and 137, 1987. ISBN 978-0486253572
  6. ^ MathWorldCompound of Five Cubes的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  7. ^ Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 161 and 185, 2002.

外部連結[编辑]