五边形

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正五邊形
Regular polygon 5 annotated.svg
一個正五邊形
類型 正多邊形
5
頂點 5
對角線 5
施萊夫利符號 {5}
考克斯特圖 CDW ring.svgCDW 5.svgCDW dot.svg
對稱群 二面體群 (D5), order 2×5
面積 5
4
a2cotπ
5

1.720477400589a2
內角 108°
內角和 540°
對偶 正五邊形 (本身)
特性 圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形isotoxal

幾何學中,五邊形是指有五條邊和五個頂點的多邊形,其內角和為540度。

五邊形可以分為凸五邊形和非凸五邊形,其中非凸五邊形包含了凹五邊形和另一種邊自我相交的五角星。最簡單的五角星可藉由將正五邊形的對角線連起來構成。

正五邊形[编辑]

正五邊形是指五個邊等長且五個角等角的五邊形,其內角為108度,是一種正多邊形,在施萊夫利符號中可以用 {5} 來表示。

正五邊形的中心角為72度,其具有五個對稱軸,其旋轉對稱性有5個階(72°、144°、216°和288°)

邊長邊長
邊長邊長
對角線長

其中R為外接圓半徑

邊長為t的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算:

面積公式推導[编辑]

正多邊形面積公式為

其中,P周長r是邊心距。正五邊形的Pr可由三角函數計算:

其中,t是邊長。

內切圓半徑[编辑]

正五邊形是一個圓外切多邊形,因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同,並且可以尤其邊長來決定。

其中,r為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長

構造[编辑]

Richmond pentagon 1.PNG
Richmond Pentagon 2.PNG

里士滿提出了一個構造正五邊形的方法[1],並且在克倫威爾的《多面體》中被近一步討論。[2]

右上的圖顯示了里士滿繪製正五邊形的方法。先利用單位圓決定五邊形的半徑。C為單位圓圓心,M是圓C半徑的中點。D是位於垂直於MC的另外一條半徑的圓周上。作角CMD的角平分線,令Q為角CMD的角平分線與CD的交點。作過Q平行於MC的直線,令之與圓C相交的交點為P,則DP為正五邊形的邊長。

這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形DCM和QCM。利用勾股定理,較大的三角形斜邊為。小三角形其中一股h可由半角公式求得:

其中,角ϕ可由大三角形求得,其值為:

由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長a可藉由再帶一次勾股定理得:

欲求出五邊形邊長s可透過左側的三角形,由勾股定理得:

五邊形邊長s為:

得到了正確的結果[3]因此此種構造正五邊形的方法是有效的。

前300年欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

扭歪五邊形[编辑]

塗上黃色的邊是一個扭歪五邊形,位於四維正五胞體的施萊格爾圖的透視投影。

扭歪五邊形,又稱不共面五邊形,是指頂點並非完全共面的五邊形

類五邊形形[编辑]

類五邊形形是五邊形的n維類比。這些形狀都具有Hn的可克斯特群[4][5][6],其中正五邊形為H2,階數為10。

維度 二維 三維 四維
類五邊形形 Simple pentagon.svg Uniform polyhedron-53-t0.png Schlegel wireframe 120-cell.png
對偶 Regular polygon pentagon.svg Icosahedron.png Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png

由五邊形組成的多面體[编辑]

有一些多面體由五邊形構成,最常見的就是正二十面體,是一個由正五邊形組成的正多面體。

Ih Th Td O I D5d
Dodecahedron.jpg Pyritohedron.png Tetartoid.png Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg Pentagonal truncated trapezohedron.png
正十二面體 五角十二面體 五角三四面體 五角化二十四面體 五角化六十面體 截角偏方面體

参考文献[编辑]

  1. ^ Herbert W Richmond. Pentagon. 1893. 
  2. ^ Peter R. Cromwell. Polyhedra. : 63. ISBN 0-521-66405-5. 
  3. ^ This result agrees with Herbert Edwin Hawkes; William Arthur Luby; Frank Charles Touton. Exercise 175. Plane geometry. Ginn & Co. 1920: 302. 
  4. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  5. ^ (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  6. ^ Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q,r} in four dimensions, pp. 292–293)

参见[编辑]