交集

数学上，两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。

基本定义[编辑]

A 和 B 的交集

A 和 B 的交集写作 "A ∩B"。形式上：

x 属于 A ∩B 当且仅当

例如：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11, …} 的交集。

若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B = Ø。例如集合 {1, 2} 和 {3, 4} 不相交，写作 {1, 2} ∩{3, 4} = Ø。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 A，B，C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C ∩D = A ∩(B ∩(C ∩D))。交集运算满足结合律，即
A ∩(B ∩C) = (A ∩B) ∩C。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则 x 属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素 A，x 属于 A。符号表示为：

$\left( x \in \bigcap \mathbf{M} \right) \leftrightarrow \left( \forall A \in \mathbf{M}. \ x \in A \right).$

这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合 {A,B,C} 的交集。（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。

这一概念的符号有时候也会变化。集合论理论家们有时用 "∩M"，有时用 "∩_A∈MA"。后一种写法可以一般化为 "∩_i∈I A_i"，表示集合 {A_i : i ∈ I} 的交集。这里 I 非空，A_i 是一个 i 属于 I 的集合。

当索引集 I 为自然数集合时，这种符号表示与无限序列相类似：

$\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i$

为了排版方便，上述符号也可以写成 "A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ..."，即使用严格的写法 A₁ ∩ (A₂ ∩ (A₃ ∩ ... 也没有区别。（这个例子是可数个集合的交集，非常常用；作为一个示例，请参看σ-代数。）

最后，注意当符号 "∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。（在HTML中，可以使用字体 &bigcap;，或者尝试 <big>∩</big>。）