在数学分析中,介值定理(英語:intermediate value theorem,又稱中間值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:
- 假設有一連續函數
,且假設
,若對任意數
滿足
,則存在一點
,使得
,當
時也有類似敘述。
直觀地比喻,這代表在
區間上可以畫出一個連續曲線,而不讓筆離開紙面。
介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理。
假設
是一個實數裡的闭区间,而
是連續函數,那麼其像集
也是區間。它或者包含
(如果
),或者包含
(如果
)。換言之:
,
或
.
介值定理通常以下述等價的形式表述:假設
是連續函數,且實數
滿足
或
,則存在
使得
。
先证明第一种情况
;第二种情况也类似。
设
为
内所有
的集合,使得
。那么
是非空的,因为
是
的一个元素,且
是上有界的,其上界为
。于是,根据实数的完备性,最小上界
一定存在。我们来证明
。
- 假设
。那么
,因此存在
,使得当
时,就有
,因为
是连续函数。但是,这样一来,当
时,就有
(也就是说,对于
内的
,都有
)。因此
是
的一个上界,与我们假设
是最小上界以及
矛盾。
- 假设
。根据连续性,存在一个
,使得当
时,就有
。那么对于
内的
,都有
,因此存在大于
的
,使得
,这与
的定义矛盾。
因此
。
與實數完備性的關係[编辑]
此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數
滿足
,但不存在滿足
的有理數
。
零点定理(波尔查诺定理)[编辑]
零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:
- 设函数
在闭区间
上连续,且
,则必存在
使
成立。由於零点定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]
现实世界中的意义[编辑]
介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对蹠点,在这两个点上该变量的值是相同的。
证明:取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。
这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。
参考资料[编辑]
外部链接[编辑]