介值定理

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数学分析中,介值定理(intermediate value theorem)描述了連續函數在兩點之間的連續性:

如果連續函數 通過 兩點,它也必定通過 區間內的任一點

直觀地比喻,這代表在 區間上可以畫出一個連續曲線,而不讓筆離開紙面。如果這個連續函數是光滑曲線,其任二點間的光滑性可由中值定理來描述。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

介值定理圖解

定理[编辑]

假設 是一個實數裡的闭区间,而 連續函數,那麼其像集 也是區間。它或者包含 (如果 ),或者包含 (如果 )。換言之:

  • ,

  • .

介值定理通常以下述等價的形式表述:假設 是連續函數,且實數 滿足 ,則存在 使得

证明[编辑]

先证明第一种情况;第二种情况也类似。

内所有 的集合,使得 。那么 是非空的,因为 的一个元素,且 是上有界的,其上界为 。于是,根据实数的完备性最小上界 一定存在。我们来证明

  • 假设。那么,因此存在,使得当时,就有 ,因为 是连续函数。但是,这样一来,当时,就有(也就是说,对于 内的 ,都有 )。因此 的一个上界,与我们假设 是最小上界以及 矛盾。
  • 假设。根据连续性,存在一个,使得当时,就有。那么对于 内的 ,都有,因此存在大于 ,使得,这与 的定义矛盾。

因此

與實數完備性的關係[编辑]

此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數 滿足 ,但不存在滿足 的有理數

零点定理(波尔查诺定理)[编辑]

零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:

设函数 在闭区间 上连续,且 ,则必存在 使 成立。

由於零点定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]

现实世界中的意义[编辑]

介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度压强海拔二氧化碳浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对蹠点,在这两个点上该变量的值是相同的。

证明:f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设df(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参考[编辑]

外部链接[编辑]

参见[编辑]