代數幾何與解析幾何

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數學中,代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇,在複數域上,同時也能以複分析微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中,則以概形論的語言重新表述。

性質的比較[编辑]

給定一個 上的局部有限型概形 ,可以考慮相應的複解析空間 。此對應 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 -模 ,同樣可考慮相應的 -模 ,這也給出相應的函子。可以證明 是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是:平坦-模。

拓撲性質比較[编辑]

為一局部可構子集(即:局部閉集的有限併集),以下 的性質在 中成立,若且唯若在 中成立:

  • 開子集
  • 閉子集
  • 稠密子集

為有限型態射時,對於 本身,下述性質也是相通的:

概形性質比較[编辑]

以下性質對 成立,若且唯若對 成立:

態射性質比較[编辑]

為概形的態射, 為複解析空間的相應態射,則下述性質對 成立若且唯若對 成立:

  • 平坦
  • 非分歧
  • 平展
  • 平滑
  • 正規
  • 既約
  • 分離
  • 單射(拓撲意義)
  • 同構
  • 單射(範疇論意義)
  • 開浸入

若再要求 是有限型態射,則可再加入下述性質:

  • 滿射(拓撲意義)
  • 優勢態射
  • 閉浸入
  • 浸入
  • 真態射
  • 有限態射

上同調比較[编辑]

以下假設 真態射,對任一個凝聚 -模 ,有自然同構:

時,遂有層上同調的比較定理:

此時 給出範疇的等價。

黎曼存在性定理[编辑]

黎曼存在性定理則斷言:若 -上的局部有限型概形,且 是複解析空間的有限平展覆蓋,則存在 -概形 及平展態射 ,使得 。此外,函子 給出從【 的有限平展覆蓋】到【 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

為連通時,此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理:

其中 ,而 表示代數基本群 對有限指數子群的完備化

文獻[编辑]

  • J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
  • Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.