代數擴張

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代数扩张抽象代數域扩张的一类。一個擴張L/K被稱作代數擴張若且唯若L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有:\mathbb{C}/\mathbb{R}\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}

定义[编辑]

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张L/KL某个元素如果是一个以K中元素为系数的非零多項式的根,则称其为K上的代数元。如果L中所有元素都是K上的代数元,就称域扩张L/K为代数扩张。

次數[编辑]

設有域擴張L/KL可以看作是K上的向量空間,将其維度稱作這個擴張的次數,记作[L:K]。有限次數的擴張(簡稱有限擴張)都是代數擴張;反之,給定一個代數擴張L/K,則L裡的任一元素都是L/K的某个有限子擴張KFL。但代数扩张本身并不一定是有限扩张一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限

代數擴張與多項式的根[编辑]

在一個代數擴張L/K中,L中的每個元素α都是某個以K中元素为系数的多項式(以下简称K-多项式,所有K-多项式的集合记作K[X]f的根。所有以α为根的K-多項式中次數最低者稱作α极小多項式(通常要求其为首一多项式,即最高次项係數等於一,以保證唯一性)。极小多項式總是不可约多項式。

K-多项式f不可約,則商環L := K[X]/( f )K的一個域擴張,它的次数[L : K] = deg(f),而且不定元X在商环中的像是在f的一個在L中的根,其极小多項式正是f。通過這種構造,我們可抽象地加入某個多項式的根。例如\mathbb{R}[X]/(X^2+1)就是在实数域中添加了虚数单位i得到的扩域:複數域\mathbb{C}

给定域扩张L/K,如果K-多项式L可以在L中分解成一次因子的積,則稱fL分裂。根據上述構造,總是可以找到一個足夠大的代數擴張K'/K使得f分裂;K'裡滿足此性質的“最小”子擴張稱作fK上的分裂域fK上的任兩個分裂域至多差一個K上的同構(即:一個限制在K上的部分為恆等映射環同構)。

正規擴張[编辑]

正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一個代數擴張L/K被稱作正規擴張,若且唯若它滿足下述三個等價條件之一:

  • 固定代數閉包Kalg,任何K上的(即在K上是恆等映射的)域嵌入σ : LKalg,都有σ(L) = L
  • 存在一族在L上分裂的多項式(f_i)_{i \in I} \subset K[X],使得L/K是在K中添加它們的根生成的域扩张。
  • K[X]中任何不可約多項式若在L裡有根,則在L裡分裂(全部的根都在L里面)。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着K[X]里的一个多项式。

例子[编辑]

  • x^2 + 1\,\mathbb{R}上的分裂域是\mathbb{C}
  • x^3 + 2\,\mathbb{Q}上的分裂域是\mathbb{Q}( e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}} }, \sqrt[3]{2})
  • (x^2 - 2)(x^2 - 3)\,\mathbb{Q}上的分裂域是\mathbb{Q}( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{2} + \sqrt{3} )
  •  \mathbb{Q}(\sqrt{2})/ \mathbb{Q} 是正規域擴張, \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/ \mathbb{Q}卻不是,因為後者並沒有包括x^3-2\,的所有根,欠了\sqrt[3]{2} e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}, \sqrt[3]{2} e^{- \frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}

可分擴張[编辑]

L/K為代數擴張,如果α的极小多項式沒有重根,則稱α可分(重根的存在性與域擴張的選取無關,可分性等價於(f, f' ) = 1,這可以直接在K中計算)。所有可分元素形成一個中间域KFL[L : K]s := [Ls : K]稱作L/K可分次數。若Ls = ; L,則稱L/K可分擴張

L/K是有限擴張時,定義不可分次數[L : K]i := [L : K]/[L : K]s。當基域的特徵為零時,任何代數擴張都是可分的;任何有限域的擴張也都是可分的。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]