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代數獨立

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抽象代數裡,一個子集若被稱做代數獨立於一子體的話,表示內的元素都不符合係數包含在內的非平凡多項式。這表示任何以內元素排成的有限序列(沒有兩個是一樣的)和任一係數包含在的非零多項式,都會得到:

特別的是,單元素集合若是代數獨立於的話,若且唯若會是內的超越數超越函數。一般而言,和於代數獨立集合的所有元素也必然會是內的超越數或超越函數,但反之則不必然。

舉例來說,實數的子集代數獨立於有理數,當存在一非零多項式:

代入代入時會變成

林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數:當線性獨立於有理數的代數數時,便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合是否代數獨立於有理數。Nesterenko英语Yuri Valentinovich Nesterenko在1996年證明了是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張,我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一的最大代數獨立子集於。甚至,所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數,稱之為此一體擴張的超越次數