本页使用了标题或全文手工转换

代數 (環論)

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,交換環上的代數多元環是一種代數結構,上下文不致混淆時通常逕稱代數

本頁面中的環都是指有單位的環,並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。

定義[编辑]

給定一個交換環

代數[编辑]

給定一個四元組 。如果以下兩個條件成立:

  1. 是一個 -
  2. 是一個 的內部運算(即),並且是-雙線性的。也就是說內部運算符合以下三點:

那麼我們說四元組 是一個 上的代數(或稱 -代數),或簡稱集合 是一個-代數

結合代數、有單位的代數、交換代數[编辑]

為一個 -代數

  • 如果內部運算符合結合律,那麼我們說 是一個結合代數
  • 如果內部運算有一個單位元(即 ),那麼此單位元是唯一的並且我們說 是一個有單位的代數
  • 如果內部運算符合交換律,那麼我們說 是一個交換代數

:有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數,或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。

等價定義[编辑]

一樣給定一個交換環

給定一個四元組 。 這是一個上的結合代數結合且有單位的代數結合、有單位且交換的代數)當且僅當以下三個條件成立:

  1. 是一個 -
  2. 是一個么環(一個環、一個交換環)。
  3. 是一個 的內部運算(即),並且是-雙線性的。

註:上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為:

  • 是一個 的內部運算(即),並符合

上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數:

  • 給定一個結合且有單位-代數 就等於給定一個二元組 :其中 是一個環,而 是一個滿足 的環同態。( 代表環 的中心,也就是 )。

原因是如果 是一個結合且有單位的-代數,那麼 是一個環並且 是一個環同態,滿足。反過來看,如果 是一個環,而 是一個滿足 的環同態,那麼我們可以定義外部運算(即)。 上環的結構與此外部運算結構使其成為一個 -模並且成為一個結合且有單位的 -代數。

將上述性質套用在交換環上,我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法:

  • 給定一個結合、有單位且交換-代數 就等於給定一個二元組 :其中 是一個交換環,而 是一個的環同態。

代數同態[编辑]

-代數,-模間的同態 被稱作 -代數間的同態,若且唯若它滿足 。因此所有 -代數構成一個範疇,也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態

結構常數[编辑]

-代數。當 是個自由的有限秩 -模(當 為域且 時自動成立)時,可選定一組基底 ,並將乘法寫作

(採用愛因斯坦記號

此時常數 稱作 對基底 結構常數

例子[编辑]

  • 對於矩陣 附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的-代數。
  • 對二階以上的矩陣環,假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 ,此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。
  • 歐氏空間 對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的 -代數。這是一個李代數的例子。
  • 四元數 是一個非交換但結合且有單位的 -代數。
  • 八元數 是一個非交換、非結合但有單位的 -代數。
  • 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數所形成的集合,附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的-代數。

除了交換結合代數外,一般常研究的幾類代數包括李代數Clifford代數約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構,並要求代數運算是連續的;最突出的例子是巴拿赫代數,這是現代泛函分析的基石之一。

參見[编辑]

文獻[编辑]