仿射空间

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仿射空间 (英文: Affine space),又称线性流形,是数学中的几何结构,这种结构是欧式空间仿射特性的推广。在仿射空间中,点与点之间做差可以得到向量,点与向量做加法将得到另一个点,但是点与点之间不可以做加法。

非正式描述[编辑]

下面的非正式描述可能比正式的定义容易理解一些:仿射空间是没有起点只有方向大小的向量所构成的向量空间。假设有甲乙两人,其中甲知道一个空间中真正的原点,但是乙认为另一个点p才是原点。现在求两个向量ab的和。乙画出papb的箭头,然后用平行四边形找到他认为的向量a + b。但是甲认为乙画出的是向量p +(ap) +(bp)。同样的,甲和乙可以计算向量ab线性组合,通常情况下他们会得到不同的结果。然而,请注意:

如果线性组合系数的和为1,那么甲和乙将得到同样的结果!

仿射空间就是这样产生的:甲知道空间的「线性结构」。但是甲和乙都知道空间的「仿射结构」,即他们都知道空间中仿射组合的值,其中仿射组合的定义为系数和为1的线性组合。

如果乙:λa + (1 − λ)b 则甲为:p + λ(a − p) + (1 − λ)(b − p) = λa + (1 − λ)b.

那么对于所有满足λ + (1 − λ) = 1的系数,即使从不同的原点开始,甲乙将以同样的线性组合描述同样的点

具有仿射结构的集合就是一个仿射空间。

定义[编辑]

集合 仿射空间,是指其满足如下性质:

  1. 存在一个与之相伴的欧几里得空间
  2. 存在一个映射 ,且这个映射有如下性质:
    1. 右幺性:;
    2. 结合律: 成立 ;
    3. 正则性:给定 中的元素, 双射.

从定义中不难得出集合 还具有如下性质:

  1. 是一个双射;
  2. 减法: 使得, 记这个 .

另一种等价的定义可以表述为:集合 仿射空间, 是指存在某个向量空间, 上的作为加法群群作用自由可迁的.

参阅[编辑]

参考文献[编辑]