仿射联络

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一個定義在球面上的仿射聯絡,會把點上的整個仿射切平面(詳見仿射空間切空間)轉換到另一點上的仿射切平面,此轉換是沿著連接兩點的曲線而連續變化的。

數學中有個課題是微分幾何,其中仿射聯絡是個定義在流形上的幾何物件,連接了鄰近幾點上的切空間,使得在流形上的切向量場可以求導。仿射聯絡的概念起源於19世紀的幾何學和張量微積分,但那時並沒有被完備的定義出來。直到1920年,(用於Cartan connection理論)及Hermann Weyl (做為廣義相對論的基礎理論)。這專門術語是沿用Cartan所使用的術語及根據從歐幾里德空間Rn 中切空間的推廣。換句話說,仿射聯絡的概念是為了推廣歐幾里德空間,使得流形上每點都有一個光滑的(可無限求導)仿射空間。

任何維數為正數的流形都會有無窮個仿射聯絡。仿射聯絡能用來決定在向量場上求導,並滿足線性萊布尼茲法則的方法,這表明了仿射聯絡有幾個可行的方法,像是協變導數或在向量叢上的聯絡。仿射聯絡也能用來決定在切向量沿著一條曲線平行移動的方式,或者用來決定標架叢的平行移動。仿射聯絡也可以用來決定流形上的測地線,推廣了歐幾里德空間中直線的概念。

在標架叢中的平行移動展現了仿射聯絡的一種形式,其他像是仿射群上的Cartan connection,或者在標架叢上的主丛也是如此。除此之外,若在流形上賦予黎曼度量,則可以在其上定義列维-奇维塔联络

仿射聯絡有幾個重要的不變量,分別是撓率曲率。撓率描述李括號藉仿射聯絡變換前後的差異。曲率則是用來衡量流形上的測地線與直線(在歐幾里德空間的意義下)的差異。