伯努利不等式

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數學中的伯努利不等式是說:對任意整數,和任意實數

如果且是偶數,則不等式對任意實數成立。

可以看到在,或時等號成立,而對任意正整數和任意實數,有嚴格不等式:

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

證明和推廣[编辑]

伯努利不等式可以用數學歸納法證明:當,不等式明顯成立。假設不等式對正整數,實數時成立,那麼

下面是推廣到實數的版本:如果,那麼:

,有
,有

這不等式可以用導數比較來證明:

時,等式顯然成立。

上定義,其中, 對求导得, 則當且僅當。分情況討論:

  1. ,則對;對。因此時取最大值,故得
  2. ,則對;對。因此時取最小值,故得

在這兩種情況,等號成立當且僅當

相關不等式[编辑]

下述不等式從另一邊估計:對任意,都有

我们知道),因此这个不等式是平凡的。