伴随表示

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數學中,一個李群 G伴隨表示adjoint representation)或伴隨作用adjoint action)是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定义[编辑]

G 是一個李群 是它的李代數(我們將其等價於 G恒同元素切空間 TeG)。利用方程 g 屬於 G,定義一個映射

這里 G自同構群自同構 定義為

對所有 h 屬於 G

從而 Ψg 在恒同處的微分是李代數 的一個自同構。我們記這個映射為 Adg

所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg 的一個保持李括號的線性變換。映射

g 映為 Adg 稱為 G伴隨表示adjoint representation)。這确实是 G 的一個表示因為 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。

李代数的伴随表示[编辑]

我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

給出李代數 伴隨表示

這里 的李代數,可以與 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯系。特別地,我們可以證明

對所有 成立。詳情請見李代数的伴随表示

例子[编辑]

  • 如果 G 是一個 n阿貝爾群G 的伴隨表示是n平凡表示
  • 如果 G 是一個矩陣李群(即 GL(n,C) 的一個閉子群),則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數(即 的子代數)。此時,伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。
  • 如果 GSL2(R)(橫列式為 1 的 2×2 實矩陣),G 的李代數由 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

性质[编辑]

下表總結了定義中提到的不同映射的性質

李群同態:
李群自同態:
李群同態:
李代數自同態:
  • 線性
李代數同態:
  • 线性
李代數導子:
  • 線性

G 在伴隨映射下的記為 AdG。如果 G 連通,則伴隨表示的與 Ψ 的核相同,就是 G中心。從而,如果 G 中心平凡,則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步,如果 G 不連通,伴隨映射的核是 G單位分支 G0中心化子。由第一同構定理我們有

半单李群的根[编辑]

如果 G 半單,伴随表示的非零组成一个根系。为了说明这是怎么回事,考虑特例 G=SLn(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

从而 TG 的李代数的对角部分上的作用平凡,在非对角元素上有本征向量 titj-1G 的根是权 diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为eiej 形式的向量集合的标准描述之说明。

变体与类比[编辑]

伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

余伴随表示co-adjoint representation)是伴随表示的逆步表示亚历山大·卡里洛夫Alexandre Kirillov)观察到任何向量在余伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学(另见卡里洛夫特征标公式Kirillov character formula)),一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

参考[编辑]