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位置算符

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量子力學裏,位置算符position operator)是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記,位置算符 的本徵態 滿足方程式

其中, 是本徵值,是量子態為 的粒子所處的位置, 只是一個數值。

位置空間表現[编辑]

設定量子態 。量子態 的位置空間表現,即波函數,分別定義為

在位置空間裡,定義算符

在位置空間裡,使用連續本徵態 所組成的基底,任意量子態 展開為

將量子算符 作用於量子態 ,可以得到

應用狄拉克正交歸一性 ,這方程式與左矢 的內積為

量子態 的展開式為

應用狄拉克正交歸一性,這方程式與左矢 的內積為

所以,兩個波函數 之間的關係為

總結,位置算符 作用於量子態 的結果 ,表現於位置空間,等價於波函數 的乘積 。位置算符 的位置空間表現是位算符 ,可以稱算符 為位置算符。

本徵函數[编辑]

假設,在位置空間裡,位置算符 本徵值本徵函數 。用方程式表達,[1]

這方程式的一般解為,

其中, 是常數,狄拉克δ函數

注意到 無法歸一化

設定 ,函數 滿足下述方程式:

這性質不是普通的正交歸一性,這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質,位置算符的本徵函數具有完備性,也就是說,任意波函數 都可以表達為本徵函數的線性組合

雖然本徵函數 所代表的量子態是無法實際體現的,並且嚴格而論,不是一個函數,它可以視為代表一種理想量子態,這種理想量子態具有準確的位置 ,因此,根據不確定性原理,這種理想量子態的動量均勻分佈

期望值[编辑]

採用位置空間表現,設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏,希爾伯特空間是 ,是實值定義域平方可積函數的空間。[2]:11兩個態向量的內積是

對於任意量子態 ,可觀察量 的期望值為

位置算符 作用於量子態 的結果,表現於位置空間,等價於波函數 的乘積,所以,

粒子處於 微小區間內的機率是

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分,就是粒子位置的期望值。

三維案例[编辑]

推廣至三維空間相當直截了當,參數為三維位置 的波函數為 ,位置的期望值[2]:41-42

其中, 是積分體積。

位置算符 的作用為

對易關係[编辑]

位置算符與動量算符的對易算符,當作用於波函數時,會得到一個簡單的結果:

所以, 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言, 的本徵態與 的本徵態不同。

根據不確定性原理

由於 是兩個不相容可觀察量, 。所以, 的不確定性與 的不確定性的乘積 ,必定大於或等於

參考文獻[编辑]

  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109. ISBN 0-13-111892-7. 
  2. ^ 2.0 2.1 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914