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作用量-角度坐标

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經典力學裏,作用量-角度坐標(action-angle coordinate)是一組正則坐標,通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時,有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法,不需要先解析運動方程式,就能夠求得振動旋轉頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式哈密頓量顯性地不含時間,也就是說,能量保持恆定)。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為,保持作用量的不變設定了環的曲面,而角度是環面的另外一個坐標,粒子依照著角度,捲繞於環面。

量子力學早期,波動力學發展成功之前,波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明,作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難,都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

哈密頓力學裏,作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論,特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾,混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明,對於微小微擾,環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標,對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析,對於 Lax pairs 的定義,更廣義地,對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想,都佔有關鍵地位。

導引[编辑]

保守的哈密頓量系統[编辑]

主條目:哈密頓特徵函數

假設,在一個物理系統裏,哈密頓量是保守的,也就是說,哈密頓量 不顯含時間;

其中,運動常數廣義坐標廣義動量

採用哈密頓特徵函數 正則變換第二型生成函數。變換方程式為

其中, 是新廣義坐標 是新廣義動量

新哈密頓量 與舊哈密頓量 相等:

新廣義動量的哈密頓方程式

所以,新廣義動量是常數

假設,這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 為完全可分的,則哈密頓特徵函數 可以分離為 個函數

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

週期性運動[编辑]

假若,粒子的運動是週期性運動,最常見的例子如振動旋轉都是週期性運動,則可以設計一個新正則坐標-作用量-角度坐標 。定義作用量為

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 只跟 有關,經過積分,作用量 只跟 有關。所以,作用量向量 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

雖然是同樣的物理量,函數的參數不同,形式也不同。

定義角度

由於所有的廣義坐標 都相互獨立,所有的廣義動量 也都相互獨立,所以,所有的作用量 都相互獨立,作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣,哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

新哈密頓量 與舊哈密頓量 相等:

因為作用量 只是常數向量,所以,

哈密頓量 ,只跟作用量 有關,跟角度 無關。

角度 隨時間的導數 ,可以用哈密頓方程式決定:

每一個 都是常數,所以, 也是常數:

其中, 是積分常數。

運動頻率[编辑]

假設原本廣義坐標 的振蕩或旋轉的運動週期為 ,則其對應的角度變數 的改變是 。進一步了解物理量 的性質,猜想 與廣義坐標 週期性運動的頻率有關。可是,因為角度 是廣義座標 與作用量 的函數,無法確定前面的猜想。為了證實這論點,計算週期

新哈密頓量 與舊哈密頓量 相等。所以,

假若 是個循環坐標,那麼,其共軛動量 必是個常數,可以從作用量的定義積分內提出來:

其中, 運動一週期的值。

這樣,

代入週期 的公式,

肯定地, 是廣義坐標 的頻率。

假若 不是循環坐標,則不能將其共軛動量 從作用量的定義積分內提出來,必須採用另外一個方法計算。從角度的定義,可以察覺角度 跟廣義坐標 、作用量 有關:

保持作用量不變,角度的虛位移 是:

在一個週期性物理系統裏,每一個廣義坐標 都有它運動的週期 。假若,其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同,則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若,兩個廣義坐標的週期不同 。在做閉路徑積分的時候,就必須使用使用一個新的週期 ,讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點.假若,兩個週期的比例是個有理數,則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

其中, ,都是正值的整數。

同樣地,在多重週期性物理系統裏,假若,每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的,則此系統是完全可通約的,稱此系統為完全可通約系統。那麼,新週期

其中, ,都是正值的整數。

經過一個週期 ,角度 的變化是:

由於作用量 是個常數,可以將它從積分內提出:

所以,頻率是

假若,有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 ,其週期 的比例是無理數。那麼, 不可能與 同時回到同一點。雖然如此,有理論證明, 仍舊分別是 的頻率。

傅立葉級數[编辑]

角度 是一組互相獨立的廣義坐標。所以,一般而言,每一個廣義坐標 可以用角度的傅立葉級數表示:

其中, 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例,物理系統的哈密頓-亞可比方程式 為完全可分的。那麼,一個原本廣義坐標 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示:

基本規則總結[编辑]

一般程序有三個步驟:

  1. 計算作用量變數
  2. 用作用量變數表示原本哈密頓量。
  3. 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣,可以求得頻率

簡併度[编辑]

在有些案例,兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率;也就是說, for 。稱這些案例的運動狀態為簡併

簡併的運動給出暗示,很可能有更多的保守量。例如,克卜勒問題的頻率是簡併的,這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示,在多於一種坐標系統裏,哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如,克卜勒問題球坐標系拋物線坐標系,都是完全可分的。

參考文獻[编辑]

  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.