佩多不等式

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幾何學佩多不等式,是關連兩個三角形不等式,以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出:如果第一個三角形的邊長為面積,第二個三角形的邊長為面積,那麼:

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形,對應邊成比例;
也就是

证明[编辑]

  • 海伦公式,两个三角形的面积可用边长表示为

再由柯西不等式

于是,

命题得证。

等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。


ABC是第一个三角形,A'B'C'是取相似后的第二个三角形,BC与B'C'重合
  • 几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数,使得,几何意义是将第二个三角形取相似(如右图)。 设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F'。 考虑 AA' 的长度。由余弦公式,

,

代入就变成:

两边化简后同时乘以,并注意到a=x,就可得到原不等式。 等号成立当且仅当A与A'重合,即两个三角形相似。

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