依賴選擇公理

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在數學上,依賴選擇公理,英語:Axiom of dependent choice)是選擇公理)較弱的版本,但依賴選擇公理依舊足以發展實分析絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由保羅·伯奈斯英语Paul Bernays於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。[a]

正式描述[编辑]

若一個上的齊次關係英语homogeneous relation被稱作全關係,則對於所有的而言,皆存在有一個,使得成立。

依賴選擇公理的表述如下: 對於任意非空集合及任意上的全關係而言,皆存在有一個上的序列,使得以下陳述成立:

對於任意的而言,

若限制上述的為所有實數的集合,那相關公理可表記為

應用[编辑]

即使在沒有這條公理的狀況下,對於任意的,依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面項;而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個(可數無限的)序列。

這條公理是的片斷,而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時,這條公理是必須的。

等價陳述[编辑]

策梅洛-弗蘭克爾集合論的框架下,等同於完備度量空間上的貝爾綱定理[1]

的框架下,這公理也等價於勒文海姆–斯科倫定理[b][2]

的框架下也與「所有有層且剪枝過的樹英语pruned tree都有分支英语Branch (descriptive set theory)」這陳述等價。

不僅如此,也與弱化版的佐恩引裡等價;特別地,與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序,都必然有極大元素」這敘述等價。[3]

與其他公理的關係[编辑]

和完整版的不同的是,的框架下,不足以證明說有些實數集是不可測集,也不足以證明有些實數集合不具有貝爾性質英语Property of Baire完美集性質英语perfect set property;而由於梭羅維模型滿足,且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故,因此這說法成立。

依賴選擇公理蘊含可數選擇公理,且嚴格強於可數選擇公理。[4][5]

註解[编辑]

  1. ^ "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始内容存档 (PDF)于2022-07-23).  The axiom of dependent choice is stated on p. 86.
  2. ^ Moore states that "Principle of Dependent Choices Löwenheim–Skolem theorem" — that is, implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. 1982: 325. ISBN 0-387-90670-3. 

參考資料[编辑]

  1. ^ 「貝爾綱定理蘊含依賴選擇公理」─Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1977, 25 (10): 933–934. 
  2. ^ The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. Computability and Logic需要免费注册 3rd. Cambridge University Press. 1989: 155–156. ISBN 0-521-38026-X. 
  3. ^ Wolk, Elliot S., On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma 26 (3), Canadian Mathematical Bulletin: 365–367, 1983 [2022-07-23], doi:10.4153/CMB-1983-062-5可免费查阅, (原始内容存档于2022-07-23) 
  4. ^ 伯奈斯證明說依賴選擇公理蘊含可數選擇公理,相關資料可見於Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始内容存档 (PDF)于2022-07-23). 的第86頁
  5. ^ 對於可數選擇公理不蘊含依賴選擇公理這點,可見Jech, Thomas, The Axiom of Choice, North Holland: 130–131, 1973, ISBN 978-0-486-46624-8