信号流图

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一系統的信號流圖,輸入為U,狀態X1, X2,輸出為Y,各邊上的數值為係數

信号流图(Signal-flow graph)最早是由克劳德·香农所發明[1] ,但因為美国麻省理工学院塞缪尔·杰斐逊·梅森英语Samuel Jefferson Mason于20世纪50年代初提出這個詞,因為也稱梅森圖(Mason graph)[2],信号流图是特殊的流向圖英语Flow graph (mathematics),屬於有向圖英语Directed graph,其中的節點表示系統的變數,而連接兩節點的邊表示二個變數之間的函數關係。信号流图的理論是以有向圖為基礎,不過是應用有向圖來表示系統,和有向圖的原理差異較大[3][4]

信号流图最常用來表示物理系統和其控制器網宇實體系統控制系統)之間的關係,不過在許多電子電路運算放大器電路、數位濾波器、狀態變數濾波器及類比濾波器的分析中也會用到信号流图。在許多文獻中,信号流图都可以轉換為一組線性方程或是線性微分方程,而各組變數之間的增益則用邊上的係數來表示,也有些信号流图會用特殊方式來表示非線性系統。而利用梅森增益公式可以找到輸入和輸出之間的關係。

基本信號流圖概念[编辑]

以下是梅森提出信號流圖的基本概念[2]

(a) 信號流圖 (b) 節點1, 3都有箭頭指向節點2 (c) 節點1, 2, 3都有箭頭指向節點3

在基本信號流圖中,節點的相依關係可以用指向此節點的箭頭表示,節點會影響的其他節點可以用由節點射出的箭頭表示,最常見的信號流圖中,每一個節點i若有指向此節點的箭頭,此節點的值會和這些箭頭另一端的節點有關,而且呈一函數關係,舉例為Fi。(a) 圖表示各節點有以下的關係:

節點x1是獨立節點,沒有箭頭指向此節點,節點x2x3和其他節點的關係分別如圖(b)和(c)。

信号流图會針對每一個節點定義一函數,處理其輸入的變數。每個非獨立節點都會依個別特定方式來處理輸入信號,再將結果送到其他的節點「信号流图一開始是由梅森所定義,其中表示了許多的函數關係,可能線性,也可能非線性。」[5]

信号流图中的變數可以自行依需要選定,系統本身有其方程式,但也可以根據其系統及架構來選擇變數,繪製信号流图,複雜的系統可能會有多種選擇變數的方式[6]。同一個系統也可以用不同的信號流圖來表示,系統和信號流圖之間沒有一對一的對應關係[5]

線性信號流圖[编辑]

線性信號流圖只針對線性非時變系統。在為系統建立模型時,第一步是找到確認系統行為的方程式,先不考慮因果關係(這稱為acausal modeling)[7],之後可以由方程式推出信号流图。

線性信号流图也是由節點及箭頭組成,不過箭頭上會有加權的係數。節點是線性方程組的變數,而加權的係數則是方程組中的係數,信號只會依節點的方向,由一個節點流到另一個節點。線性信号流图中只能表達信號和係數相乘,以及數個信號的相加,這已足以表示線性方程組。當一信號延著箭頭一個節點到另一個節點時,此信號就乘以箭頭上的係數,若幾個箭頭指到同一個節點時,這幾個信號會相加(若需要相減,可以調整對應係數為負即可)。

針對用線性代數方程或是微分方程來表示的系統,線性信号流图在數學上等效於其方程式,看信号流图上各節點信號的來源以及箭頭上的係數即可得到方程式。箭頭上的係數多半會是實數或是某種參數組成的線性函數(例如拉氏轉換的變數s)。

基本元件[编辑]

線性信号流图中的元件

線性信号流图是和以下形式線性系統有關的信号流图[8]

其中 為從的增益。

右圖中有一些線性信號流圖中的基本元件[9]

(a)是標示為的節點,節點是圖的一個頂點,表示變數或是信號。
(b)是一個有倍增益的分支,意思是指箭頭的終點會是箭頭起點的倍。增益可能是簡單的常數,也有可能函數(例如表示拉氏轉換、傅立葉轉換及Z轉換的, )。
(c)是增益為1的分支,當分支上沒有標示增益時,就假設增益為1。
(d) 為輸入節點。此例中,輸出是乘以增益
(e) 為輸出節點,輸出值為輸入值的倍。
(f) 表示加法。若二個或是多個箭頭的終點是同一個節點,該節點的值是各箭頭表示信號的和。
(g) 是簡單的迴路,迴路增益為
(h) 表示

以下是一些線性信号流图中常見的術語[9]

  • 路徑(Path)。路徑是依箭頭方向一直延伸的連續數個分支。
    • 開路徑(Open path)是指路徑上沒有同一個節點走到二次或二次以上。
  • 路徑增益(Path gain)是指路徑上所有分支增益的乘積。
  • 迴路(Loop)是指封閉的路徑,路徑的起點和終點是同一個節點,路徑上的節點都只經過一次。
  • 迴路增益(Loop gain)是指迴路上所有分支增益的乘積。
  • 不相連迴路(Non-touching loops)是指二個或多個沒有共同節點的迴路。

和方塊圖的關係[编辑]

例子:方塊圖和和二個等效效的信号流图

有些研究者認為,線性信號流圖的限制比方塊圖要多[10],信號流圖嚴謹用有有向圖來表示線性代數方程。

有些研究者則認為為線性信號流圖和線性方塊圖是描述一個系統的二個等效方式,用任何一個都可以找到系統的增益[11]

Bakshi及Bakshi提供了一個信號流圖和方塊圖比較的列表[12],Kumar另外有一個列表[13]。根據Barker等人的論點[14]

「信號流圖是最方便表示動態系統的方式。圖的拓樸很緊湊,處理的規則比處理方塊圖的規則要簡單。」

在右圖中有一個回授系統的簡單方塊圖,以及二個對應的信號流圖。輸入R(s)是輸入信號的拉氏轉換,是信號流圖的源節點(沒有輸入邊的節點),輸出信號C(s)是輸出變數的拉氏轉換,表示為最終節點(沒有輸出邊的節點),G(s)H(s)為傳遞函數,H(s)可以提供調整後的輸出信號B(s)給輸入端,二個信號流圖是等效的。

分析及設計中的信号流图[编辑]

用在動態系統分析的信号流图[编辑]

用在設計合成的信号流图[编辑]

香農公式以及香農-哈普公式[编辑]

香農公式(Shannon's formula)是計算類比電腦中互聯放大器增益的解析表示法。在二次大戰時,香農在探就類比電腦的功能運作時,發展了香農公式。因為戰爭期間的的限制,香農當時沒有發表他的研究。塞繆爾·傑斐遜·梅森英语Samuel Jefferson Mason在1952年重新發現了相同的公式。

哈普將香農公式擴展到在圖形上封閉的系統[15]。香農-哈普公式(Shannon-Happ formula)可以計算傳遞函數、靈敏度、誤差函數等[16]

對於一致的單邊線性方程,香農-哈普公式可以用直接替代的方式求解(非迭代法)[16][17]

NASA的電路計算軟體NASAP就是以香農-哈普公式為基礎[16][17]

線性信号流图的例子[编辑]

簡單的電壓放大器[编辑]

理想的負回授放大器[编辑]

非線性的信号流图[编辑]

梅森在導入線性信号流图的同時,也導入了非線性信号流图。梅森提到:「線性信号流图就是相關系統是線性的信号流图」"[2]

非線性分支函數的例子[编辑]

若以xj來表示j節點的訊號,以下例子是不符合線性非時變系統的函數:

非線性信号流图的例子[编辑]

  • 在電子工程的文獻中常見非線性的信號流圖[18][19]
  • 在生命科學中也常有非線性信号流图,例如亞瑟·蓋頓英语Arthur Guyton的心血管系統電腦模型[1]

信号流图在不同領域的應用[编辑]

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ CE Shannon. The theory and design of linear differential equation machines. Fire Control of the US National Defense Research Committee: Report 411, Section D-2. January 1942.  Reprinted in N. J. A. Sloane; Aaron D. Wyner (编). Claude E. Shannon: Collected Papers. Wiley IEEE Press. 1993: 514. ISBN 978-0-7803-0434-5. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Mason, Samuel J. Feedback Theory - Some Properties of Signal Flow Graphs (PDF). Proceedings of the IRE. September 1953, 41: 1144–1156. doi:10.1109/jrproc.1953.274449. The flow graph may be interpreted as a signal transmission system in which each node is a tiny repeater station. The station receives signals via the incoming branches, combines the information in some manner, and then transmits the results along each outgoing branch. 
  3. ^ Jørgen Bang-Jensen; Gregory Z. Gutin. Digraphs. Springer. 2008. ISBN 9781848009981. 
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  9. ^ 9.0 9.1 Kuo, Benjamin C. Automatic Control Systems 2nd. Prentice-Hall. 1967: 59–60. 
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  13. ^ A Anand Kumar. Table: Comparison of block diagram and signal flow methods. Control Systems 2nd. PHI Learning Pvt. Ltd. 2014: 165. ISBN 9788120349391. 
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