傅里叶变换

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傅里叶变换法语Transformation de Fourier英语Fourier transform)是一种線性的积分变换,常在将信号在时域(或空域)和频域之间变换时使用,在物理学工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。

经过傅里叶变换而生成的函数 \hat f 称作原函数 f 的傅里叶变换、亦或其频谱。傅里叶变换是可逆的,即可通过 \hat f 确定其原函数 f。通常情况下,f实数函数,而 \hat f 则是复数函数,用一个复数来表示振幅相位

“傅里叶变换”一词既可以指变换操作本身(将函数 f 进行傅里叶变换),又可以指该操作所生成的复数函数(\hat ff 的傅里叶变换)。

简介[编辑]

傅里叶变换将函数的时域(红色)与频域(蓝色)相关联。频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示。

傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中,复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展,由它表示的函数的周期趋近于无穷。

中文译名[编辑]

英语Fourier transform法语Transformée de Fourier 有多个中文译名,常见的有「傅里叶变换」、「傅立叶变换」、「付立叶变换」、「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」及「傅氏變換」等等。为方便起见,本文统一写作「傅里叶变换」。

应用[编辑]

傅里叶变换在物理学声学光学结构动力学量子力學数论组合数学概率论统计学信号处理密码学海洋学通讯金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。

基本性质[编辑]

线性性质[编辑]

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是:若函数f \left( x\right )g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[g]都存在,\alpha\beta为任意常系数,则\mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal{F}[f]+\beta\mathcal{F}[g];傅里叶变换算符\mathcal{F}可经归一化成为幺正算符

平移性质[编辑]

若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换,则对任意实数\omega_{0},函数f(x) e^{i \omega_{0} x}也存在傅里叶变换,且有\mathcal{F}[f(x)e^{i \omega_{0} x}]=F(\omega - \omega _0 )。式中花体\mathcal{F}是傅里叶变换的作用算子,平体F表示变换的结果(复函数),e自然对数的底,i虚数单位\sqrt{-1}

微分关系[编辑]

若函数f \left( x\right )|x|\rightarrow\infty时的极限为0,而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在,则有\mathcal{F}[f'(x)]= i \omega \mathcal{F}[f(x)],即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 i\omega。更一般地,若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0,且\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]存在,则\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]=( i \omega)^{k} \mathcal{F}[f],即k导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( i \omega)^{k}

卷积特性[编辑]

若函数f \left( x\right )g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)绝对可积,则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi(或者f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)g(x-\xi)d\xi)的傅里叶变换存在,且\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]。卷积性质的逆形式为\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)*G(\omega)]=2\pi\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]\cdot\mathcal{F}^{-1}[G(\omega)],即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以2\pi

帕塞瓦尔定理[编辑]

若函数f \left( x\right )可积且平方可积,则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^{2}d\omega。其中F \left( \omega \right)f \left( x \right)的傅里叶变换。

更一般化而言,若函数f \left( x\right )g \left( x\right )平方可積方程Square-integrable function),则\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g^{*}(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)G^{*}(\omega)d\omega。其中中F \left( \omega \right)和中G \left( \omega \right)分别是f \left( x \right)g \left( x \right)的傅里叶变换, *代表複共軛

傅里叶变换的不同变种[编辑]

连续傅里叶变换[编辑]

一般情况下,若「傅里叶变换」一词不加任何限定语,则指的是「连续傅里叶变换」(连续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式。


F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt.

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为


f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]
 = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair)。

除此之外,還有其它型式的變換對,以下兩種型式亦常被使用。在通訊或是訊號處理方面,常以f = \frac{\omega}{2\pi}\,來代換,而形成新的變換對:


X(f) = \mathcal{F}[x(t)] = \int\limits_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{- i 2\pi f t}\,dt

x(t) = \mathcal{F}^{-1}[X(f)] = \int\limits_{-\infty}^\infty X(f) e^{i 2\pi f t}\,df.

或者是因係數重分配而得到新的變換對:


F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]
 = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。

f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为餘弦轉換(cosine transform)或正弦轉換(sine transform).

另一个值得注意的性质是,当f(t)为纯实函数时,F(−ω) = F*(ω)成立.

傅里叶级数[编辑]

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourier series)的推广,因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数,其傅里叶级数是存在的:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,

其中F_n为复振幅。对于实值函数,函数的傅里叶级数可以写成:

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]

其中anbn频率分量的振幅。

傅里叶分析最初是研究周期性现象,即傅里叶级数的,后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例,即其周期为无限长。

离散时间傅里叶变换[编辑]

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換。

离散傅里叶变换[编辑]

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数xn定义在离散点而非连续域内,且须满足有限性周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换,将函数xn表示为下面的求和形式:

x_n = \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{-i\frac{2\pi}{N} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1

其中X_k是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度\mathcal{O}(n^2),而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度改进为\mathcal{O}(n \log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述[编辑]

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中,一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外,将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见龐特里亞金對偶性(Pontryagin duality)中的介绍。

时频分析变换[编辑]

小波变换chirplet轉換分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

傅里叶变换家族[编辑]

下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.

變換 時間 頻率
连续傅里叶变换 連續,非週期性 連續,非週期性
傅里叶级数 連續,週期性 離散,非週期性
离散时间傅里叶变换 離散,非週期性 連續,週期性
离散傅里叶变换 離散,週期性 離散,週期性

常用傅里叶变换表[编辑]

下表列出常用的傅里叶变换对。 GH分别代表函数g(t)h(t)的傅里叶变换. gh可以使可积函数或衰减的分布。

函数关系[编辑]

时域信号 角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,
 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,
1 a\cdot g(t) + b\cdot h(t)\, a\cdot G(\omega) + b\cdot H(\omega)\, a\cdot G(f) + b\cdot H(f)\, 线性
2 g(t - a)\, e^{- i a \omega} G(\omega)\, e^{- i 2\pi a f} G(f)\, 时域平移
3 e^{ iat} g(t)\, G(\omega - a)\, G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\, 频域平移,变换2的频域对应
4 g(a t)\, \frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\, \frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right)\, 如果|a|\,值较大,则g(a t)\,会收缩到原点附近,而\frac{1}{|a|}G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,会扩散并变得扁平.当|a|趋向无穷时,成为狄拉克δ函数
5 G(t)\,  g(-\omega)\,  g(-f)\, 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量 t \,和频域变量 \omega \,得到.
6 \frac{d^n g(t)}{dt^n}\,  (i\omega)^n G(\omega)\,  (i 2\pi f)^n G(f)\, 傅里叶变换的微分性质
7 t^n g(t)\, i^n \frac{d^n G(\omega)}{d\omega^n}\, \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n G(f)}{df^n}\, 变换6的频域对应
8 (g * h)(t)\, \sqrt{2\pi} G(\omega) H(\omega)\, G(f) H(f)\, g * h\,表示g\,h\,的卷积—这就是卷积定理
9 g(t) h(t)\, (G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, (G * H)(f)\, 变换8的频域对应。

平方可积函数[编辑]

时域信号 角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
10 \mathrm{rect}(a t) \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right) 矩形脉冲和归一化的sinc函数
11  \mathrm{sinc}(a t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\, 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器,sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12  \mathrm{sinc}^2 (a t) \,  \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)  \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right) tri三角形函数
13  \mathrm{tri} (a t) \, \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \, 变换12的频域对应
14 e^{-\alpha t^2}\, \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}} 高斯函数\exp(-\alpha t^2)的傅里叶变换是他本身.只有当\mathrm{Re}(\alpha)>0时,这是可积的。
15  e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right|_{\alpha = -i a} \,  \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}  \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)} 光学领域应用较多
16 \cos ( a t^2 ) \,  \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)  \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)
17 \sin ( a t^2 ) \,  \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)  - \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)
18 \mathrm{e}^{-a|t|} \,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}  \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2} a>0
19  \frac{1}{\sqrt{|t|}} \,  \frac{1}{\sqrt{|\omega|}}  \frac{1}{\sqrt{|f|}} 变换本身就是一个公式
20  J_0 (t)\,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}  \frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}} J0(t)0阶第一类贝塞尔函数
21  J_n (t) \,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}  \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}} 上一个变换的推广形式; Tn (t)第一类切比雪夫多项式
22  \frac{J_n (t)}{t} \,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,

  \cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)

 \frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,

  \cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )

Un (t)第二类切比雪夫多项式

分布[编辑]

时域信号 角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,
 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,
23 1\, \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\, \delta(f)\, \delta(\omega)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换
24 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, 1\, 变换23的频域对应
25 e^{i a t}\, \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\, \delta(f - \frac{a}{2\pi})\, 由变换3和24得到.
26 \cos (a t)\, \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\, 由变换1和25得到,应用了欧拉公式\cos(a t) = (e^{i a t} + e^{-i a t})/2.
27 \sin( at)\, \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\, 由变换1和25得到
28 t^n\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\, 这里, n是一个自然数. \delta^{(n)}(\omega)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多項式
29 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, -i\pi\cdot \sgn(f)\, 此处\sgn(\omega)符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的.
30 \frac{1}{t^n}\, -i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\, -i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\, 变换29的推广.
31 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\, \frac{1}{i\pi f}\, 变换29的频域对应.
32  u(t) \, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\, \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\, 此处u(t)单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.
33  e^{- a t} u(t) \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)} \frac{1}{a + i 2 \pi f} u(t)单位阶跃函数,且a > 0.
34 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \, \begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\, \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \, 狄拉克梳状函数Dirac comb)——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

二元函数[编辑]

时域信号 角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
\mathrm{exp}\left[-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)\right] \frac{1}{|ab|} \exp\left[-\pi\left(\frac{f^2_x}{a^2} + \frac{f^2_y}{b^2}\right)\right] 两个函数都是高斯函数,而且可能都没有单位体积.
\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2})  \frac{J_1\left[2 \pi f_r\right]}{f_r} 此圆有单位半径,如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1(1阶第一类贝塞尔函数)表达; fr是频率矢量的量值{fx,fy}.

三元函数[编辑]

时域信号 角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2+z^2})  4 \pi \frac{\sin[2 \pi f_r] - 2 \pi f_r \cos[2 \pi f_r]}{(2 \pi f_r)^3} 此球有单位半径;fr是频率矢量的量值{fx,fy,fz}.

参见[编辑]

參考資料[编辑]

  • R. N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed., Boston, McGraw Hill, 2000.
  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳錫冠、曾致煌老師,高立出版社。

外部連結[编辑]