# 傅里叶级数

## 定義

### 正弦-余弦形式

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}

${\displaystyle s(x)\sim A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)+B_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\right)}$

• 波长等于${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$，并且有着同于${\displaystyle x}$的单位。
• 频率等于${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$，并且有着${\displaystyle x}$的倒数单位。

### 指数形式

{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=A_{0}&\\c_{n}&=(A_{n}-iB_{n})/2\qquad &{\text{for }}n>0\\c_{n}&=(A_{-n}+iB_{-n})/2\qquad &{\text{for }}n<0\end{aligned}}}

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)e^{-{\frac {2\pi inx}{P}}}\,dx\qquad {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} }$

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=c_{0}&\\A_{n}&=c_{n}+c_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(c_{n}-c_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}

${\displaystyle s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{\frac {2\pi inx}{P}}}$

#### 複數值函數

${\displaystyle s(x)=\operatorname {Re} (s(x))+i\cdot \operatorname {Im} (s(x)),\quad x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}$
${\displaystyle c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}$
${\displaystyle c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx}$

${\displaystyle s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}=\sum _{n=\infty }^{\infty }c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}+i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}}$

### 振幅-相位形式

${\displaystyle A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)}$

${\displaystyle s(x)\sim {\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}$

### 部份求和算子

${\displaystyle S_{N}(f)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\frac {2\pi inx}{P}}}$

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )g(x-\tau )d\tau }$

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )e^{-in\tau }d\tau \right)\cdot e^{inx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )\left(\sum _{n=-N}^{N}e^{in(x-\tau )}\right)d\tau \\&={\frac {1}{2\pi }}(f*D_{N})(x)\end{aligned}}}

### 收敛性概要

${\displaystyle s_{N}(x)}$${\displaystyle [x_{0},\ x_{0}+P]}$近似了${\displaystyle s(x)}$，该近似程度会随着${\displaystyle N\rightarrow \infty }$逐渐改善。这个无穷和${\displaystyle s_{\infty }(x)}$叫做 ${\displaystyle s}$的傅里叶级数表示。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见之一。对于广义函数或分布也可以用范数或定义傅里叶系数。在${\displaystyle s(x)}$不可导点上，如果我们只取无穷级数中的有限项求和，那么在这些点上会有幅度不随${\displaystyle N}$增大而持续变小的起伏，这叫做吉布斯现象，一个简单的例子是方波信号

### 其他常用表示法

${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{2\pi inx/P}\quad }$常用的数学符号
${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\quad }$常用的工程符号

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)}$

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x)\end{aligned}}}

## 常用的傅里叶级数

• ${\displaystyle s(x)}$指示周期${\displaystyle P}$的周期函数。
• ${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$指示周期函数${\displaystyle s(x)}$的傅里叶级数系数（正弦-余弦形式）。

${\displaystyle s(x)}$

{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}

${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}} 全波整流正弦 [8]:p. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}} 半波整流正弦 [8]:p. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}} ${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}} [8]:p. 192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}} [8]:p. 192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}} [8]:p. 193

## 基本性質

• 复数共轭指示为上标星号${\displaystyle \ ^{*}\ }$
• ${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle r(x)}$指示周期为${\displaystyle P}$的函数或只定义在${\displaystyle x\in [0,P]}$中的函数。
• ${\displaystyle S[n]}$${\displaystyle R[n]}$指示${\displaystyle s}$${\displaystyle r}$的傅里叶级数系数（指数形式）。

## 对称性质

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{时 域}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&i\ s_{_{\text{IE}}}&+&i\ s_{_{\text{IO}}}\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{频 域}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\,i\ S_{\text{IO}}\,&+&i\ S_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

• 实数值函数sRE + sRO的变换，是偶对称函数SRE + i SIO。反过来说，偶对称变换蕴含了实数值时域。
• 虚数值函数i sIE + i sIO的变换，是奇对称函数SRO + i SIE，反过来说也成立。
• 偶对称函数sRE + i sIO的变换，是实数值函数SRE + SRO，反过来说也成立。
• 奇对称函数sRO + i sIE的变换，是虚数值函数i SIE + i SIO，反过来说也成立。

## 範例

### 一个简单的傅里叶级数

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi
${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right)\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}

${\displaystyle x=\pi }$时，傅里叶级数收敛于${\displaystyle 0}$，为在${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle s}$的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理的特例。

### 傅里叶诱导

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}}$

## 收斂性

1. 在定义区间上，${\displaystyle x(t)}$绝对可积
2. 在任一有限区间中，${\displaystyle x(t)}$只能取有限个极值点；
3. 在任何有限区间上，${\displaystyle x(t)}$只能有有限个第一类间断点

1.当${\displaystyle t}$${\displaystyle x(t)}$的连续点时，级数收敛于${\displaystyle x(t)}$
2.当${\displaystyle t}$${\displaystyle x(t)}$的间断点时，级数收敛于${\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]}$

1966年，里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的，即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。

### 傅立葉級數收斂证明

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0}$${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

${\displaystyle (e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}}$

${\displaystyle ||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$ 替換一下後有 ${\displaystyle ||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$

${\displaystyle ||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}}$，這就證明了帕塞瓦尔定理

${\displaystyle |f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|}$

## 其他性质

### 卷积定理

• 逐点乘积${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$，也是周期为${\displaystyle P}$，并且它的傅里叶级数系数是序列${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$离散卷积${\displaystyle H[n]=(S*R)[n]}$
• 周期卷积${\textstyle h_{_{P}}(x)\triangleq (s_{_{P}}*r)(x)=(s*r_{_{P}})(x)=\int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$，也是周期为${\displaystyle P}$，它具有傅里叶级数系数：${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n]}$
• ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$中的双无限序列${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$，是在${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$中的傅里叶系数的序列，当且仅当它是在${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$中的两个序列的卷积[11]

### 微分性質

• 如果${\displaystyle f(x)}$屬於在${\displaystyle C^{1}(\mathbb {T} )}$，那麼${\displaystyle f'(x)}$傅立葉係數${\displaystyle {\hat {f'}}(n)}$可以被用${\displaystyle f(x)}$傅立葉係數${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$的表示，藉由公式${\displaystyle {\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)}$
• 如果${\displaystyle f(x)}$屬於在${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)}$。特別的，當固定${\displaystyle k\geq 1}$，我們有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)}$趨近於0當${\displaystyle n\rightarrow \infty }$，且有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})}$

## 延伸

### 希尔伯特空间的解读

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,}$
${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$

(這裡的δmn克羅內克函數)，而

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,}$

## 注释

1. ^ 一些作者定义了与此不同的${\displaystyle A_{0}}$，使得可以用相同的积分定义${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{n}}$。这改变了Eq. 2使得第一项需要除以${\displaystyle 2}$
2. ^ 因为周期函数的傅里叶变换的积分定义不是收敛的，需要将周期函数和它的变换视为分布。在这种意义上，${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i{\frac {2\pi nx}{P}}}\}}$是一个狄拉克δ函数，它是分布的是例子。

## 引用

1. ^ 详见莫里斯·克莱因《古今数学思想》，第20章无穷级数，第5节三角级数；第28章十九世纪的偏微分方程，第5节热方程与傅里叶级数。
see here, pg.s 209 & 210, 页面存档备份，存于互联网档案馆
2. ^ 李狗嗨. 如何给文科生解释傅里叶变换？. 知乎专栏. 2019-07-25 [2020-02-07]. （原始内容存档于2020-10-24） （中文）.
3. ^ Théorie analytique de la chaleur. Paris: Firmin Didot Père et Fils. 1822. OCLC 2688081 （法语）.
4. ^ Pinkus, Allan; Zafrany, Samy. Fourier Series and Integral Transforms 1st. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1997: 42–44. ISBN 0-521-59771-4.
5. ^ Katznelson, Yitzhak. An introduction to Harmonic Analysis 2nd corrected. New York, NY: Dover Publications, Inc. 1976: 46. ISBN 0-486-63331-4.
6. ^ Georgi P. Tolstov. Fourier Series. Courier-Dover. 1976. ISBN 0-486-63317-9.
7. ^ 这里页面存档备份，存于互联网档案馆
8. Papula, Lothar. Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [Mathematical Functions for Engineers and Physicists]. Vieweg+Teubner Verlag. 2009. ISBN 978-3834807571 （德语）.
9. Shmaliy, Y.S. Continuous-Time Signals. Springer. 2007. ISBN 978-1402062711.
10. ^ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications 3rd. Prentice Hall. 1996: 291. ISBN 978-0-13-373762-2.
11. ^ Characterizations of a linear subspace associated with Fourier series. MathOverflow. 2010-11-19 [2014-08-08].