克卜勒問題

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二體問題示意圖。

經典力學裏,克卜勒問題二體問題的一個特別案例。假若,兩個物體以連心力\mathbf{F}\,\!互相作用;力的大小與距離r\,\!平方成反比。則稱此物理系統所涉及的問題為克卜勒問題[1]反平方連心力以公式表示為

\mathbf{F} = \frac{k}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}}\,\!

其中,k\,\!是常數,\hat{\mathbf{r}}\,\!是徑向單位向量

連心力可以是吸引性的(k<0\,\!),也可以是排斥性的(k>0\,\!),對應的位勢

V(r) = - \frac{k}{r}\,\!

克卜勒問題是因天文學家約翰內斯·克卜勒而命名。他推出了在天文學歷史上,具有關鍵價值的克卜勒定律。遵守克卜勒定律的作用力有那些特性呢(逆克卜勒問題)?在這方面,他也做了很多的研究[2]

在很多狀況下,會遇到克卜勒問題。天體力學時常會涉及克卜勒問題,因為牛頓萬有引力遵守反平方定律。例如,人造衛星環繞著地球,行星環繞著太陽,或雙星系統。克卜勒問題涉及了兩個電荷子的物理運動,因為靜電學庫侖定律遵守反平方定律。例如,氫原子正子素,與緲子偶素。這些典型系統,在測驗物理理論與測量自然常數上,都扮演了很重要的角色。

在經典力學裏,克卜勒問題與諧振子問題是兩個最基本的問題。只有這兩個問題的解答是閉合軌道;也就是說,物體從一點移動,經過一段路徑後,又回到原先點。在經典力學裏,克卜勒問題時常被用來發展新的表述方法,像拉格朗日力學哈密頓力學哈密頓-亞可比方程式,與作用量-角度坐標。在克卜勒問題裏,拉普拉斯-龍格-冷次向量是一個運動常數。克卜勒問題的解答 使科學家能夠用經典力學完全地解釋清楚行星運動。這行星運動的科學解釋在啟蒙時代的開啟扮演了重要的角色。

克卜勒問題解析[编辑]

所有的吸引性的連心力都能夠形成圓形軌道,前提是連心力必須相等於粒子的向心力。給定圓半徑,這要求相當於物體的角速度已被決定。在此條目裏,不會提到非連心力。一般而言,非連心力不能形成圓形軌道。

假設,一個質量為m\,\!的粒子移動於一個連心勢V(r)\,\!內。r\,\!是徑向坐標。其拉格朗日方程式

m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - mr \omega^{2} = 
m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}\,\!

其中,時間是t\,\!角速度\omega \equiv \frac{d\theta}{dt}\,\!運動常數角動量L = mr^{2}\omega\,\!

詳細說明,對於圓形軌道,方程式左手邊第一項目等於零;如預期,連心力 - \frac{dV}{dr}\,\!相等於向心力 - mr \omega^{2}\,\!

角動量定義可以將自變數t\,\!改變為\theta\,\!

\frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}\,\!

這樣,新的運動方程式不含時間:

\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}\,\!

變數變換u \equiv \frac{1}{r}\,\!,將方程式兩邊乘以\frac{mr^{2}}{L^{2}}\,\!,則可得二次微分方程式

\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u= - \frac{m}{L^{2}}\frac{d}{du} V(1/u)\,\!

對於一個反平方作用力,像萬有引力靜電力位勢可以表示為

V(\mathbf{r})=\frac{-k}{r}= - ku\,\!

代入微分方程式,

\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u= - \frac{m}{L^{2}}\frac{d}{du}V(1/u) = \frac{km}{L^{2}}\,\!

導引出軌道為

u\equiv\frac{1}{r}=\frac{km}{L^{2}}\left[1+e\cos\left(\theta - \theta_{0}\right) \right]\,\!

其中,離心率e\,\!,相位常數是\theta_{0}\,\!。這些都是積分常數。

這是一個焦點在力中心點圓錐曲線方程式。圓錐曲線的離心率與總能量E\,\!有關:

e=\sqrt{1+\frac{2EL^{2}}{k^{2}m}}\,\!

假若E=-\frac{k^{2}m}{2L^{2}}\,\!,則e=0\,\!,軌道是圓形的;假若E<0\,\!,則e<1\,\!,軌道是橢圓形的;假若E=0\,\!,則e=1\,\!,軌道是拋物線;假若E>0\,\!,則e>1\,\!,軌道是雙曲線

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Arnold, VI. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed.. New York: Springer-Verlag. 1989: 38. ISBN 0-387-96890-3. 
  2. ^ Goldstein, H.. Classical Mechanics 2nd edition. Addison Wesley. 1980.