克罗内克函数

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在数学中,克罗内克函数(又称克罗内克δ函数、克罗内克δ) 是一个二元函数,得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量(输入值)一般是两个整数,如果两者相等,则其输出值为1,否则为0。

克罗内克函数的值一般简写为

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号,但是克罗内克δ用的时候带两个下标,而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法[编辑]

另一种标记方法是使用艾佛森括号(得名于肯尼斯·艾佛森):

同时,当一个变量为0时,常常会被略去,记号变为

线性代数中,克罗内克函数可以被看做一个张量,写作

数字信号处理[编辑]

冲激函数

类似的,在数字信号处理中,与克罗内克函数等价的概念是变量为 (整数)的函数:

这个函数代表着一个冲激单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时,输出的函数被称为此单元的冲激响应

性质[编辑]

克罗内克函数有筛选性:对任意

如果将整数看做一个装备了计数测度测度空间,那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的:

实际上,狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中,两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 为连续的情况(狄拉克函数) ,而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下(克罗内克函数)。

线性代数中的应用[编辑]

线性代数中,单位矩阵可以写作

在看做是张量时(克罗内克张量),可以写作

这个(1,1)向量表示:

  • 作为线性映射的单位矩阵。
  • 迹数
  • 内积
  • 映射 ,将数量乘积表示为外积的形式。

廣義克羅內克函數[编辑]

定義廣義克羅內克函數 矩陣的行列式,以方程式表達為[1]

其中, 是個張量函數,定義為

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式

其中,列維-奇維塔符號

其中, 階張量。

积分表示[编辑]

对任意的整数 ,运用标准的留数计算,可以将克罗内克函数表示成积分的形式:

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价:

参见[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001, ISBN 1-55369-133-4